Probabilidad en una biblioteca: idiomas y categorías

**a) (1.25 puntos) Calcular la probabilidad de que esté en francés si no es un manual técnico.** Primero definimos los sucesos del problema: - $C$: El libro es un cuento infantil. - $H$: El libro es una novela histórica. - $M$: El libro es un manual técnico. - $F$: El libro está escrito en francés. - $I$: El libro está escrito en inglés. Extraemos los datos del enunciado: - $P(C) = 0.50$ - $P(H) = 0.30$ - $P(M) = 1 - (0.50 + 0.30) = 0.20$ - Probabilidad de francés dado que es cuento: $P(F|C) = \frac{1}{5} = 0.2$ - Probabilidad de inglés dada que es novela: $P(I|H) = \frac{1}{3} \implies P(F|H) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ - Probabilidad de manual técnico dado que es francés: $P(M|F) = \frac{1}{7}$ 💡 **Tip:** En problemas de probabilidad con varias categorías y atributos, es fundamental identificar qué es una probabilidad simple y qué es una condicionada. La expresión "uno de cada..." suele indicar una probabilidad condicionada.

Para construir nuestro árbol de decisión completo, necesitamos conocer la probabilidad de que un manual técnico esté en francés, es decir, $P(F|M)$. Sabemos que $P(M|F) = \frac{P(M \cap F)}{P(F)} = \frac{1}{7}$. De esta relación: $$P(F) = 7 \cdot P(M \cap F) = 7 \cdot P(M) \cdot P(F|M)$$ Por el **Teorema de la Probabilidad Total**: $$P(F) = P(C)P(F|C) + P(H)P(F|H) + P(M)P(F|M)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(F) = 0.5 \cdot 0.2 + 0.3 \cdot \frac{2}{3} + 0.2 \cdot P(F|M) = 0.1 + 0.2 + 0.2 \cdot P(F|M) = 0.3 + 0.2 \cdot P(F|M)$$ Igualamos ambas expresiones para $P(F)$: $$0.3 + 0.2 \cdot P(F|M) = 7 \cdot (0.2 \cdot P(F|M))$$ $$0.3 + 0.2 \cdot P(F|M) = 1.4 \cdot P(F|M)$$ $$0.3 = 1.2 \cdot P(F|M) \implies P(F|M) = \frac{0.3}{1.2} = 0.25$$ Por tanto, $P(I|M) = 1 - 0.25 = 0.75$. $$\boxed{P(F|M) = 0.25}$$

Con todos los datos calculados, podemos representar la situación con un árbol:

Se pide la probabilidad de que esté en francés si **no** es un manual técnico ($P(F | \bar{M})$). El suceso "no es un manual técnico" ($\bar{M}$) es equivalente a que sea un cuento ($C$) o una novela histórica ($H$). $$P(F | \bar{M}) = \frac{P(F \cap \bar{M})}{P(\bar{M})}$$ Calculamos el denominador: $$P(\bar{M}) = P(C) + P(H) = 0.50 + 0.30 = 0.80$$ Calculamos el numerador (intersección de francés y no ser manual): $$P(F \cap \bar{M}) = P(F \cap C) + P(F \cap H) = P(C)P(F|C) + P(H)P(F|H)$$ $$P(F \cap \bar{M}) = 0.5 \cdot 0.2 + 0.3 \cdot \frac{2}{3} = 0.1 + 0.2 = 0.3$$ Finalmente: $$P(F | \bar{M}) = \frac{0.3}{0.8} = 0.375$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(F | \bar{M}) = 0.375}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$. En este caso, el espacio muestral se restringe solo a cuentos y novelas.

**b) (1.25 puntos) Calcular la probabilidad de que esté escrito en francés, y la probabilidad de que si está en inglés sea una novela histórica.** Primero calculamos la probabilidad total de que un libro esté en francés, $P(F)$, sumando todas las ramas que terminan en francés: $$P(F) = P(C \cap F) + P(H \cap F) + P(M \cap F)$$ $$P(F) = 0.5 \cdot 0.2 + 0.3 \cdot \frac{2}{3} + 0.2 \cdot 0.25$$ $$P(F) = 0.1 + 0.2 + 0.05 = 0.35$$ ✅ **Resultado (parte 1):** $$\boxed{P(F) = 0.35}$$

Se pide la probabilidad de que sea una novela histórica si sabemos que está en inglés, es decir, $P(H|I)$. Usamos la definición de probabilidad condicionada: $$P(H | I) = \frac{P(H \cap I)}{P(I)}$$ Calculamos $P(I)$ como el suceso contrario de $P(F)$: $$P(I) = 1 - P(F) = 1 - 0.35 = 0.65$$ Calculamos la intersección $P(H \cap I)$: $$P(H \cap I) = P(H) \cdot P(I|H) = 0.3 \cdot \frac{1}{3} = 0.1$$ Sustituimos: $$P(H | I) = \frac{0.1}{0.65} = \frac{10}{65} = \frac{2}{13} \approx 0.1538$$ ✅ **Resultado (parte 2):** $$\boxed{P(H | I) = \frac{2}{13} \approx 0.1538}$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes nos permite "invertir" el árbol para hallar la causa (categoría) conocido el efecto (idioma).