Rayo láser, plano de incidencia y distancia mínima

**a) (1.25 puntos) Calcular una ecuación del plano de incidencia, es decir, el plano perpendicular a $\pi$ que contiene al rayo de luz.** Primero, definimos los elementos geométricos del problema. El rayo de luz es una recta $r$ que pasa por $A(1, 0, -1)$ y $B(3, 1, 0)$. Su vector director $\vec{v}_r$ es: $$\vec{v}_r = \vec{AB} = B - A = (3-1, 1-0, 0-(-1)) = (2, 1, 1)$$ Ahora, obtenemos el vector normal del plano $\pi$. A partir de sus ecuaciones paramétricas, extraemos sus vectores directores: $$\vec{u}_1 = (-1, 0, 1) \quad \text{y} \quad \vec{u}_2 = (0, 2, -2)$$ El vector normal $\vec{n}_\pi$ se obtiene mediante el producto vectorial: $$\vec{n}_\pi = \vec{u}_1 \times \vec{u}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0-2) - \mathbf{j}(2-0) + \mathbf{k}(-2-0) = (-2, -2, -2)$$ Para simplificar, podemos usar $\vec{n}_\pi = (1, 1, 1)$. 💡 **Tip:** El vector normal a un plano es perpendicular a cualquier vector contenido en él. Si el plano de incidencia debe ser perpendicular a $\pi$, su vector normal debe ser perpendicular a $\vec{n}_\pi$.

El plano de incidencia $\pi'$ debe contener al rayo de luz (por tanto, contiene al punto $A$ y al vector $\vec{v}_r$) y ser perpendicular al plano $\pi$ (por tanto, contiene al vector normal $\vec{n}_\pi$). Los vectores directores de $\pi'$ son $\vec{v}_r = (2, 1, 1)$ y $\vec{n}_\pi = (1, 1, 1)$. Usando el punto $A(1, 0, -1)$, la ecuación del plano es: $$\begin{vmatrix} x-1 & y-0 & z+1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos el determinante: $$(x-1)(1-1) - y(2-1) + (z+1)(2-1) = 0$$ $$0 - y + z + 1 = 0 \implies -y + z + 1 = 0$$ Multiplicando por $-1$ para obtener la forma estándar: $$\boxed{y - z - 1 = 0}$$ 💡 **Tip:** Un plano queda determinado por un punto y dos vectores directores no paralelos.

**b) (0.75 puntos) Calcular la distancia que recorre el rayo de luz desde el emisor hasta el punto $P$.** Primero necesitamos hallar el punto $P$, que es la intersección entre la recta $r$ y el plano $\pi$. Ecuación implícita de $\pi$: usamos el punto $(2, 2, 0)$ de las paramétricas (cuando $\alpha=\beta=0$) y el normal $(1, 1, 1)$: $$1(x-2) + 1(y-2) + 1(z-0) = 0 \implies x + y + z - 4 = 0$$ Ecuación paramétrica de la recta $r$: $$r: \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = \lambda \\ z = -1 + \lambda \end{cases}$$ Sustituimos la recta en el plano: $$(1 + 2\lambda) + (\lambda) + (-1 + \lambda) - 4 = 0 \implies 4\lambda - 4 = 0 \implies \lambda = 1$$ El punto de incidencia $P$ es: $$P(1+2(1), 1, -1+1) = P(3, 1, 0)$$ (Observamos que el punto de incidencia coincide con el punto $B$ del enunciado). 💡 **Tip:** Para hallar la intersección recta-plano, lo más cómodo es sustituir las expresiones de las coordenadas de la recta en la ecuación general del plano.

La distancia recorrida es el módulo del vector $\vec{AP}$: $$\vec{AP} = P - A = (3-1, 1-0, 0-(-1)) = (2, 1, 1)$$ Calculamos su módulo: $$d(A, P) = |\vec{AP}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$$ $$\boxed{d(A, P) = \sqrt{6} \approx 2,45 \text{ unidades}}$$

**c) (0.5 puntos) Calcular el ángulo que debería girar el emisor para que la distancia entre él y el nuevo punto de incidencia sobre $\pi$ sea mínima.** La distancia mínima de un punto a un plano se alcanza siguiendo la dirección del vector normal al plano. Por tanto, el emisor debe apuntar en la dirección de $\vec{n}_\pi = (1, 1, 1)$. El ángulo que debe girar es el ángulo $\theta$ formado por el vector director actual $\vec{v}_r = (2, 1, 1)$ y el vector normal del plano $\vec{n}_\pi = (1, 1, 1)$: $$\cos \theta = \frac{|\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi|}{|\vec{v}_r| \cdot |\vec{n}_\pi|} = \frac{|(2, 1, 1) \cdot (1, 1, 1)|}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{2+1+1}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{3}}$$ $$\cos \theta = \frac{4}{\sqrt{18}} = \frac{4}{3\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$ Calculamos el ángulo: $$\theta = \arccos\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right) \approx \arccos(0,9428) \approx 19,47^\circ$$ $$\boxed{\theta = 19,47^\circ}$$ 💡 **Tip:** El camino más corto de un punto a un plano es siempre el segmento perpendicular al plano.