Estudio de función con valor absoluto y cálculo de área

**a) (1.5 puntos) Analice la monotonía y los extremos relativos de $f(x)$.** Para trabajar con la función $f(x) = \frac{|x|}{x^2 + 1}$, primero debemos eliminar el valor absoluto expresándola como una función definida a trozos: $$f(x)=\begin{cases} \frac{-x}{x^2+1} & \text{si } x \lt 0,\\ \frac{x}{x^2+1} & \text{si } x \ge 0. \end{cases}$$ Calculamos la derivada $f'(x)$ en cada intervalo utilizando la regla del cociente: Para $x \lt 0$: $$f'(x) = \frac{-1 \cdot (x^2+1) - (-x) \cdot (2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{-x^2 - 1 + 2x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2 - 1}{(x^2+1)^2}$$ Para $x \gt 0$: $$f'(x) = \frac{1 \cdot (x^2+1) - x \cdot (2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2 + 1 - 2x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2+1)^2}$$ En $x = 0$, la función es continua pero no derivable, ya que $f'(0^-) = -1$ y $f'(0^+) = 1$. 💡 **Tip:** Recuerda que para derivar un cociente $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero en cada rama: 1. Si $x \lt 0$: $x^2 - 1 = 0 \implies x = -1$ (Punto crítico). 2. Si $x \gt 0$: $1 - x^2 = 0 \implies x = 1$ (Punto crítico). Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos determinados por los puntos críticos y el punto donde cambia la definición de la rama ($x=0$): $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty, -1) & -1 & (-1, 0) & 0 & (0, 1) & 1 & (1, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & \nexists & + & 0 & - \\ \hline f(x) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow & \text{Máx} & \searrow \end{array}$$ **Intervalos de crecimiento y decrecimiento:** - La función es **creciente** en $(-\infty, -1) \cup (0, 1)$. - La función es **decreciente** en $(-1, 0) \cup (1, +\infty)$.

A partir del análisis de monotonía, identificamos los extremos relativos: - En **$x = -1$** hay un **máximo relativo**: $f(-1) = \frac{|-1|}{(-1)^2 + 1} = \frac{1}{2}$. - En **$x = 0$** hay un **mínimo relativo**: $f(0) = \frac{0}{0^2 + 1} = 0$. - En **$x = 1$** hay un **máximo relativo**: $f(1) = \frac{1}{1^2 + 1} = \frac{1}{2}$. ✅ **Resultado (Monotonía y Extremos):** $$\boxed{\text{Creciente: } (-\infty, -1) \cup (0, 1); \text{ Decreciente: } (-1, 0) \cup (1, +\infty)}$$ $$\boxed{\text{Máximos relativos: } (-1, 1/2) \text{ y } (1, 1/2); \text{ Mínimo relativo: } (0, 0)}$$

**b) (1 punto) Halle el área de la región acotada delimitada por la recta $y = \frac{1}{2}$ y la gráfica de $f(x)$.** Primero buscamos los puntos de intersección entre la recta $y = 1/2$ y la función $f(x)$: $$\frac{|x|}{x^2 + 1} = \frac{1}{2} \implies 2|x| = x^2 + 1 \implies x^2 - 2|x| + 1 = 0$$ Esto nos da $(|x| - 1)^2 = 0$, por lo que $|x| = 1$, es decir, **$x = -1$** y **$x = 1$**. Como hemos visto en el apartado anterior, el valor máximo de la función es precisamente $1/2$, por lo que la gráfica de $f(x)$ queda por debajo de la recta $y = 1/2$ en el intervalo $[-1, 1]$. 💡 **Tip:** Debido a la simetría de la función $f(x)$ (es una función par, $f(x) = f(-x)$), podemos calcular el área desde $0$ hasta $1$ y multiplicar por $2$.

El área $A$ viene dada por la integral: $$A = \int_{-1}^{1} \left( \frac{1}{2} - \frac{|x|}{x^2+1} \right) dx$$ Usando la simetría: $$A = 2 \int_{0}^{1} \left( \frac{1}{2} - \frac{x}{x^2+1} \right) dx$$ Calculamos la integral paso a paso: $$A = 2 \left[ \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) \right]_0^1$$ Aplicamos la **Regla de Barrow**: $$A = 2 \left[ \left( \frac{1}{2}(1) - \frac{1}{2} \ln(1^2 + 1) \right) - \left( \frac{1}{2}(0) - \frac{1}{2} \ln(0^2 + 1) \right) \right]$$ $$A = 2 \left[ \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \ln 2 \right) - (0 - 0) \right] = 1 - \ln 2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\int \frac{x}{x^2+1} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x}{x^2+1} dx = \frac{1}{2} \ln|x^2+1|$. ✅ **Resultado (Área):** $$\boxed{A = 1 - \ln 2 \approx 0.3069 \text{ unidades}^2}$$