Ecuaciones matriciales e inducción de potencias

**a) (1.5 puntos) Hallar $X, Y$ y $X^{-1}$.** Para resolver el sistema de ecuaciones matriciales, tratamos a $X$ e $Y$ como incógnitas en un sistema lineal. El sistema es: (1) $5X - 3Y = A$ (2) $3X + 6Y = B$ Utilizamos el método de reducción. Para eliminar la matriz $Y$, multiplicamos la ecuación (1) por $2$: $$2(5X - 3Y) = 2A \implies 10X - 6Y = 2A$$ Ahora sumamos esta ecuación resultante con la ecuación (2): $$(10X - 6Y) + (3X + 6Y) = 2A + B$$ $$13X = 2A + B$$ Calculamos $2A + B$: $$2A + B = 2\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 39 & 2 \\ -15 & 13 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 39 & 2 \\ -15 & 13 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 39 & 0 \\ -13 & 13 \end{pmatrix}$$ Despejamos $X$: $$X = \frac{1}{13} \begin{pmatrix} 39 & 0 \\ -13 & 13 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Las operaciones con matrices (suma y producto por un escalar) se realizan elemento a elemento. $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}}$$

Sustituimos $X$ en una de las ecuaciones originales, por ejemplo en la (1), para despejar $Y$: $$5X - 3Y = A \implies 3Y = 5X - A$$ Calculamos $5X - A$: $$5X = 5\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 & 0 \\ -5 & 5 \end{pmatrix}$$ $$5X - A = \begin{pmatrix} 15 & 0 \\ -5 & 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 & 1 \\ -6 & 5 \end{pmatrix}$$ Por tanto: $$Y = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 15 & 1 \\ -6 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 1/3 \\ -2 & 5/3 \end{pmatrix}$$ $$\boxed{Y = \begin{pmatrix} 5 & 1/3 \\ -2 & 5/3 \end{pmatrix}}$$

Para hallar $X^{-1}$, primero calculamos su determinante: $$|X| = \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = (3)(1) - (0)(-1) = 3$$ Como $|X| \neq 0$, la matriz es invertible. Usamos la fórmula para la inversa de una matriz $2 \times 2$, $M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \implies M^{-1} = \frac{1}{|M|} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$: $$X^{-1} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/3 & 0 \\ 1/3 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para una matriz de orden 2, la inversa se obtiene intercambiando los elementos de la diagonal principal, cambiando de signo los de la secundaria y dividiendo todo por el determinante. ✅ **Resultado apartado a):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}, \quad Y = \begin{pmatrix} 5 & 1/3 \\ -2 & 5/3 \end{pmatrix}, \quad X^{-1} = \begin{pmatrix} 1/3 & 0 \\ 1/3 & 1 \end{pmatrix}}$$

**b) (1 punto) Calcular $A^{127}$.** Calculamos las primeras potencias de $A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ para encontrar un patrón: $$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -I$$ $$A^3 = A^2 \cdot A = (-I) \cdot A = -A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$ $$A^4 = A^2 \cdot A^2 = (-I) \cdot (-I) = I$$ Hemos encontrado que $A^4 = I$, por lo que las potencias de $A$ son cíclicas de orden 4. 💡 **Tip:** Cuando te pidan una potencia muy elevada, busca siempre una regularidad (ciclo) o intenta expresar la potencia en función de la matriz identidad $I$.

Para calcular $A^{127}$, dividimos el exponente $127$ entre el periodo del ciclo, que es $4$: $$127 = 4 \cdot 31 + 3$$ Utilizando las propiedades de las potencias: $$A^{127} = A^{4 \cdot 31 + 3} = (A^4)^{31} \cdot A^3$$ Como $A^4 = I$: $$A^{127} = I^{31} \cdot A^3 = I \cdot A^3 = A^3$$ Ya habíamos calculado que $A^3 = -A$. Por tanto: $$A^{127} = -A = -\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado apartado b):** $$\boxed{A^{127} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}}$$