Distribuciones Normal y Binomial: Calidad del Servicio de Transporte

**a) (0.75 puntos) Elegido un usuario al azar, ¿qué probabilidad hay de que crea que el servicio de la empresa de transportes es excelente?** Definimos la variable aleatoria $X$ como la nota global otorgada por un usuario al servicio. Según el enunciado, $X$ sigue una distribución normal: $$X \sim N(6.7, 1.25)$$ Donde la media es $\mu = 6.7$ y la desviación típica es $\sigma = 1.25$. Un usuario considera el servicio como **excelente** si la nota es mayor que $7.5$. Por tanto, buscamos $P(X \gt 7.5)$. Para calcularla, debemos tipificar la variable utilizando la fórmula $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$: $$P(X \gt 7.5) = P\left(Z \gt \frac{7.5 - 6.7}{1.25}\right) = P\left(Z \gt \frac{0.8}{1.25}\right) = P(Z \gt 0.64)$$ Como las tablas de la normal estándar ofrecen probabilidades acumuladas $P(Z \le z)$, aplicamos la propiedad del complementario: $$P(Z \gt 0.64) = 1 - P(Z \le 0.64)$$ Buscando en la tabla de la $N(0, 1)$, obtenemos que $P(Z \le 0.64) = 0.7389$. Entonces: $$P(X \gt 7.5) = 1 - 0.7389 = 0.2611$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para tipificar restamos la media y dividimos por la desviación típica. Esto nos permite usar la tabla de la normal estándar $Z \sim N(0, 1)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{Excelente}) = 0.2611}$$

**b) (1 punto) Elegido un usuario al azar, ¿qué probabilidad hay de que crea que el servicio de la empresa de transportes es satisfactorio?** El servicio es **satisfactorio** si la nota está entre $5$ y $7.5$. Por tanto, calculamos $P(5 \le X \le 7.5)$. Volvemos a tipificar los límites del intervalo: Para $x=5$: $z_1 = \frac{5 - 6.7}{1.25} = \frac{-1.7}{1.25} = -1.36$ Para $x=7.5$: $z_2 = 0.64$ (calculado en el apartado anterior) La probabilidad buscada es: $$P(5 \le X \le 7.5) = P(-1.36 \le Z \le 0.64) = P(Z \le 0.64) - P(Z \le -1.36)$$ Calculamos $P(Z \le -1.36)$ usando la simetría de la campana de Gauss: $$P(Z \le -1.36) = P(Z \ge 1.36) = 1 - P(Z \le 1.36)$$ Buscamos en la tabla $P(Z \le 1.36) = 0.9131$. Así: $$P(Z \le -1.36) = 1 - 0.9131 = 0.0869$$ Sustituimos los valores obtenidos: $$P(5 \le X \le 7.5) = 0.7389 - 0.0869 = 0.6520$$ 💡 **Tip:** En una distribución normal, $P(a \le X \le b) = P(X \le b) - P(X \le a)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{Satisfactorio}) = 0.6520}$$

**c) (0.75 puntos) Para conocer de forma más directa la opinión de sus usuarios, de entre todos ellos la empresa convoca a $25$ elegidos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos de entre los convocados consideren el servicio insatisfactorio?** En este apartado tenemos un experimento con $n=25$ ensayos independientes (usuarios elegidos al azar). El "éxito" en este caso es que un usuario considere el servicio como **insatisfactorio** ($X \lt 5$). Primero, calculamos la probabilidad $p$ de éxito para un solo usuario: $$p = P(X \lt 5) = P(Z \lt -1.36)$$ Como ya calculamos en el apartado anterior: $$p = 0.0869$$ Definimos la nueva variable $Y$ como el número de usuarios que consideran el servicio insatisfactorio entre los $25$ convocados. $Y$ sigue una distribución binomial: $$Y \sim B(n, p) = B(25, 0.0869)$$ Queremos calcular la probabilidad de que **al menos dos** lo consideren insatisfactorio, es decir, $P(Y \ge 2)$.

Para calcular $P(Y \ge 2)$ de forma eficiente, usamos el suceso contrario: $$P(Y \ge 2) = 1 - P(Y \lt 2) = 1 - [P(Y = 0) + P(Y = 1)]$$ La fórmula de la probabilidad binomial es $P(Y=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$. 1. Calculamos $P(Y=0)$: $$P(Y=0) = \binom{25}{0} (0.0869)^0 (1-0.0869)^{25} = 1 \cdot 1 \cdot (0.9131)^{25} \approx 0.1037$$ 2. Calculamos $P(Y=1)$: $$P(Y=1) = \binom{25}{1} (0.0869)^1 (0.9131)^{24} = 25 \cdot 0.0869 \cdot (0.9131)^{24} \approx 25 \cdot 0.0869 \cdot 0.1135 \approx 0.2466$$ Finalmente, sumamos y restamos de la unidad: $$P(Y \ge 2) = 1 - (0.1037 + 0.2466) = 1 - 0.3503 = 0.6497$$ 💡 **Tip:** Cuando pidan "al menos...", suele ser mucho más rápido calcular el complementario para evitar sumar muchos términos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(Y \ge 2) = 0.6497}$$