Geometría en el espacio: Recta secante y paralela, y punto simétrico

**a) (1,5 puntos) Halle una ecuación de la recta que pasa por $P$, es secante a $s$ y paralela al plano $\pi$.** Sea $r$ la recta buscada. Para que sea secante a $s$, debe cortar a esta en un punto $Q$. Primero expresamos la recta $s$ en su forma paramétrica para obtener un punto genérico $Q$. De la ecuación continua de $s$, igualando a $\lambda$: $$s \equiv \begin{cases} x = -1 + 2\lambda \\ y = 2 + \lambda \\ z = -\lambda \end{cases}$$ Cualquier punto $Q$ de la recta $s$ tiene la forma: $$Q(-1 + 2\lambda, 2 + \lambda, -\lambda)$$ 💡 **Tip:** El punto $Q$ representa cualquier punto sobre la recta $s$ dependiendo del valor del parámetro $\lambda$.

La recta $r$ pasa por $P(-1, 2, 6)$ y por el punto $Q$ de la recta $s$. Por tanto, su vector director $\vec{v}_r$ será el vector que une ambos puntos: $$\vec{v}_r = \vec{PQ} = Q - P$$ $$\vec{PQ} = (-1 + 2\lambda - (-1), 2 + \lambda - 2, -\lambda - 6)$$ $$\vec{PQ} = (2\lambda, \lambda, -\lambda - 6)$$ Este vector define la dirección de la recta que buscamos en función de $\lambda$.

Para que la recta $r$ sea paralela al plano $\pi$, su vector director $\vec{v}_r$ debe ser perpendicular al vector normal del plano $\vec{n}_\pi = (3, -2, 1)$. La condición de perpendicularidad implica que su producto escalar debe ser cero: $$\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = 0$$ $$(2\lambda, \lambda, -\lambda - 6) \cdot (3, -2, 1) = 0$$ $$6\lambda - 2\lambda + 1(-\lambda - 6) = 0$$ $$6\lambda - 2\lambda - \lambda - 6 = 0 \implies 3\lambda - 6 = 0$$ $$\lambda = 2$$ 💡 **Tip:** Si una recta es paralela a un plano, no tiene por qué estar contenida en él, pero su vector de dirección siempre es ortogonal al normal del plano.

Sustituimos $\lambda = 2$ en el vector director $\vec{v}_r$: $$\vec{v}_r = (2 \cdot 2, 2, -2 - 6) = (4, 2, -8)$$ Podemos simplificar el vector director dividiéndolo por $2$ para obtener uno más sencillo: $\vec{v}_r = (2, 1, -4)$. Con el punto $P(-1, 2, 6)$ y el vector $\vec{v}_r = (2, 1, -4)$, escribimos la ecuación continua de la recta $r$: ✅ **Resultado:** $$\boxed{r \equiv \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 6}{-4}}$$

**b) (1 punto) Halle el simétrico del punto $P$ respecto al plano $\pi$.** Para hallar el simétrico $P'$ de $P$ respecto al plano $\pi$, trazamos una recta perpendicular al plano que pase por $P$. El vector director de esta recta será el normal del plano: $\vec{v}_l = \vec{n}_\pi = (3, -2, 1)$. La recta $l$ en paramétricas es: $$l \equiv \begin{cases} x = -1 + 3t \\ y = 2 - 2t \\ z = 6 + t \end{cases}$$ 💡 **Tip:** El punto simétrico se encuentra a la misma distancia del plano que el punto original, pero en el lado opuesto, siguiendo la dirección normal.

Hallamos el punto de intersección $M$ entre la recta $l$ y el plano $\pi$. Sustituimos las coordenadas de $l$ en la ecuación del plano $3x - 2y + z - 5 = 0$: $$3(-1 + 3t) - 2(2 - 2t) + (6 + t) - 5 = 0$$ $$-3 + 9t - 4 + 4t + 6 + t - 5 = 0$$ $$14t - 6 = 0 \implies t = \frac{6}{14} = \frac{3}{7}$$ Calculamos las coordenadas de $M$ (proyección de $P$ sobre $\pi$): $$x_M = -1 + 3\left(\frac{3}{7}\right) = -1 + \frac{9}{7} = \frac{2}{7}$$ $$y_M = 2 - 2\left(\frac{3}{7}\right) = 2 - \frac{6}{7} = \frac{8}{7}$$ $$z_M = 6 + \frac{3}{7} = \frac{45}{7}$$ Obtenemos $M\left(\frac{2}{7}, \frac{8}{7}, \frac{45}{7}\right)$.

El punto $M$ es el punto medio entre $P$ y su simétrico $P'$. Por la fórmula del punto medio: $$M = \frac{P + P'}{2} \implies P' = 2M - P$$ Calculamos las coordenadas de $P'$: $$x_{P'} = 2\left(\frac{2}{7}\right) - (-1) = \frac{4}{7} + 1 = \frac{11}{7}$$ $$y_{P'} = 2\left(\frac{8}{7}\right) - 2 = \frac{16}{7} - \frac{14}{7} = \frac{2}{7}$$ $$z_{P'} = 2\left(\frac{45}{7}\right) - 6 = \frac{90}{7} - \frac{42}{7} = \frac{48}{7}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P'\left(\frac{11}{7}, \frac{2}{7}, \frac{48}{7}\right)}$$