Estudio de función racional: asíntotas y rectas tangentes

**a) (1.25 puntos) Hallar su dominio y estudiar las asíntotas de su gráfica.** El dominio de una función racional son todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador. Igualamos el denominador a cero: $$x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1.$$ Por tanto, el dominio es: $$\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$$ Antes de calcular asíntotas, observamos que tanto el numerador como el denominador se anulan en $x = 1$. Factorizamos para simplificar la expresión: $$f(x) = \frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{x^2 + x + 1}{x + 1}, \quad \text{para } x \neq 1.$$ 💡 **Tip:** Simplificar la función cuando hay factores comunes facilita mucho el cálculo de límites y derivadas, pero recuerda que el dominio original sigue excluyendo esos puntos.

Analizamos los puntos donde el denominador se anula: $x = 1$ y $x = -1$. - **En $x = 1$:** $$\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x^2 - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 + x + 1}{x + 1} = \frac{1^2 + 1 + 1}{1 + 1} = \frac{3}{2}.$$ Como el límite es finito, en $x = 1$ no hay una asíntota vertical, sino una **discontinuidad evitable** (un "punto vacío"). - **En $x = -1$:** $$\lim_{x \to -1} \frac{x^2 + x + 1}{x + 1} = \frac{(-1)^2 + (-1) + 1}{-1 + 1} = \frac{1}{0} = \pm\infty.$$ Al ser el límite infinito, existe una asíntota vertical en $x = -1$. ✅ **Resultado (Asíntota Vertical):** $$\boxed{x = -1}$$ 💡 **Tip:** Una asíntota vertical ocurre en $x=a$ si el límite de la función tiende a infinito. Si el límite es un número real, se trata de una discontinuidad evitable.

**Asíntotas horizontales:** Calculamos el límite al infinito: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3 - 1}{x^2 - 1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3}{x^2} = \lim_{x \to \pm\infty} x = \pm\infty.$$ No existen asíntotas horizontales. **Asíntotas oblicuas ($y = mx + n$):** Como el grado del numerador es exactamente uno más que el del denominador, existe una asíntota oblicua. $$m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + x + 1}{x(x + 1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + x + 1}{x^2 + x} = 1.$$ $$n = \lim_{x \to \infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2 + x + 1}{x + 1} - x \right) = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + x + 1 - x^2 - x}{x + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x + 1} = 0.$$ La asíntota oblicua es $y = 1x + 0$. ✅ **Resultado (Asíntota Oblicua):** $$\boxed{y = x}$$ 💡 **Tip:** También puedes hallar la asíntota oblicua realizando la división polinómica de $x^2+x+1$ entre $x+1$.

**b) (0.75 puntos) Calcular la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto $(2, 7/3)$.** La ecuación de la recta tangente en $x = a$ es $y - f(a) = f'(a)(x - a)$. Aquí $a = 2$ y $f(2) = 7/3$. Necesitamos hallar $f'(2)$. Usamos la versión simplificada $f(x) = \frac{x^2 + x + 1}{x + 1}$ para derivar: $$f'(x) = \frac{(2x + 1)(x + 1) - (x^2 + x + 1)(1)}{(x + 1)^2}$$ $$f'(x) = \frac{2x^2 + 2x + x + 1 - x^2 - x - 1}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x + 1)^2}.$$ Calculamos la pendiente en $x = 2$: $$m = f'(2) = \frac{2^2 + 2(2)}{(2 + 1)^2} = \frac{4 + 4}{9} = \frac{8}{9}.$$ Sustituimos en la fórmula punto-pendiente: $$y - \frac{7}{3} = \frac{8}{9}(x - 2) \implies y = \frac{8}{9}x - \frac{16}{9} + \frac{21}{9}$$ ✅ **Resultado (Recta Tangente):** $$\boxed{y = \frac{8}{9}x + \frac{5}{9}}$$

**c) (0.5 puntos) Encontrar, si es posible, algún punto $x_0$ tal que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto $(x_0, f(x_0))$ sea 1.** La pendiente de la recta tangente es la derivada. Debemos resolver la ecuación $f'(x_0) = 1$: $$\frac{x_0^2 + 2x_0}{(x_0 + 1)^2} = 1$$ $$x_0^2 + 2x_0 = (x_0 + 1)^2$$ $$x_0^2 + 2x_0 = x_0^2 + 2x_0 + 1$$ Restando $x_0^2 + 2x_0$ en ambos miembros, obtenemos: $$0 = 1$$ Esta igualdad es imposible. Por tanto, no existe ningún valor de $x$ en el dominio de la función para el cual la pendiente de la recta tangente sea 1. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No existe ningún punto } x_0 \text{ con pendiente } 1}$$ 💡 **Tip:** Visualmente, esto tiene sentido porque la asíntota oblicua es $y=x$ (pendiente 1) y la función se aproxima a ella sin llegar a tener nunca su misma inclinación exacta en un punto finito.