Problema de sistemas de ecuaciones: producción de sandías

Para resolver este problema, lo primero es definir las dimensiones del ortoedro formado por las cajas de sandías. Sean: - $x$: largo del ortoedro (en metros). - $y$: ancho del ortoedro (en metros). - $z$: alto del ortoedro (en metros). Traducimos las condiciones del enunciado a ecuaciones algebraicas: 1. **"Al doble del largo le faltan $2\text{m}$ para ser la suma del ancho y el alto"**: $$2x + 2 = y + z \implies 2x - y - z = -2$$ 2. **"El largo supera en $8\text{m}$ al ancho menos el alto"**: $$x = (y - z) + 8 \implies x - y + z = 8$$ 3. **"El perímetro de la base es $54\text{m}$"**: Como la base tiene dimensiones $x$ e $y$, su perímetro es $2x + 2y = 54$. Simplificando entre 2: $$x + y = 27$$ 💡 **Tip:** Un ortoedro es un prisma rectangular. El volumen (y por tanto el número de cajas de $1\text{m}^3$) se calcula como el producto de sus tres dimensiones: $V = x \cdot y \cdot z$.

Tenemos el siguiente sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: $$\begin{cases} 2x - y - z = -2 & (1) \\ x - y + z = 8 & (2) \\ x + y = 27 & (3) \end{cases}$$ Podemos resolverlo por sustitución aprovechando la ecuación (3). Despejamos $y$: $$y = 27 - x$$ Sustituimos $y$ en las ecuaciones (1) y (2): - De (1): $2x - (27 - x) - z = -2 \implies 2x - 27 + x - z = -2 \implies 3x - z = 25$ - De (2): $x - (27 - x) + z = 8 \implies x - 27 + x + z = 8 \implies 2x + z = 35$ Ahora sumamos estas dos nuevas ecuaciones para eliminar $z$: $$(3x - z) + (2x + z) = 25 + 35 \implies 5x = 60 \implies x = 12$$ 💡 **Tip:** El método de reducción (sumar ecuaciones) es muy eficiente una vez hemos reducido el sistema a dos incógnitas.

Una vez hallado el valor de $x = 12$, calculamos $y$ y $z$: 1. **Para calcular $y$**: Usamos la relación $y = 27 - x$: $$y = 27 - 12 = 15\text{ m}$$ 2. **Para calcular $z$**: Usamos la ecuación $2x + z = 35$: $$2(12) + z = 35 \implies 24 + z = 35 \implies z = 11\text{ m}$$ **Comprobación de las condiciones:** - Condición 1: $2(12) = 24$. Suma ancho y alto menos 2: $15 + 11 - 2 = 24$. (Correcto) - Condición 2: Largo $= 12$. Ancho menos alto más 8: $(15 - 11) + 8 = 4 + 8 = 12$. (Correcto) - Condición 3: Perímetro base $= 2(12 + 15) = 2(27) = 54$. (Correcto) $$\boxed{x = 12, \; y = 15, \; z = 11}$$

La producción total corresponde al volumen del ortoedro, ya que las cajas son cubos de $1\text{m}$ de lado ($1\text{m}^3$ cada una). El número de cajas será el producto de las dimensiones de la pila: $$N = x \cdot y \cdot z$$ $$N = 12 \cdot 15 \cdot 11$$ Realizamos la operación paso a paso: $$12 \cdot 15 = 180$$ $$180 \cdot 11 = 1980$$ La cosecha ha producido un total de $1980$ cajas de sandías. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{1980 \text{ cajas}}$$