Distribución Binomial y Aproximación a la Normal

**a) (1 punto) Calcular la probabilidad de que Antonio acierte el centro exactamente en dos de los cinco lanzamientos.** El número de aciertos de Antonio en sus 5 lanzamientos sigue una distribución binomial, ya que cada lanzamiento es independiente y tiene solo dos resultados posibles (acierto o fallo) con probabilidad constante. Definimos la variable aleatoria $X$ como el número de aciertos de Antonio: - $n = 5$ (número de lanzamientos). - $p = 0,25$ (probabilidad de acierto). - $q = 1 - p = 0,75$ (probabilidad de fallo). Por tanto, $X \sim B(5; \, 0,25)$. 💡 **Tip:** Una distribución binomial $B(n, p)$ modela el número de éxitos en $n$ ensayos independientes con probabilidad de éxito $p$ constante.

Para calcular la probabilidad de que acierte exactamente 2 veces, aplicamos la fórmula de la probabilidad puntual de la binomial: $$P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}$$ Para $k = 2$: $$P(X=2) = \binom{5}{2} \cdot 0,25^2 \cdot 0,75^{5-2}$$ Calculamos el número combinatorio y las potencias: $$\binom{5}{2} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$$ $$P(X=2) = 10 \cdot 0,0625 \cdot 0,75^3 = 10 \cdot 0,0625 \cdot 0,421875$$ $$P(X=2) = 0,263671875$$ Redondeando a cuatro decimales: ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X=2) \approx 0,2637}$$

**b) (1.5 puntos) Aproximando por una normal, calcular la probabilidad de que Antonio falle el centro de la diana en al menos dos terceras partes de $60$ lanzamientos.** En este caso, estudiamos los fallos de Antonio en $n = 60$ lanzamientos. Definimos la variable $Y$ como el número de fallos: - $n = 60$ - $p = P(\text{fallo}) = 1 - 0,25 = 0,75$ - $q = P(\text{acierto}) = 0,25$ La variable sigue una distribución binomial $Y \sim B(60; \, 0,75)$. Calculamos el número de fallos requeridos (dos terceras partes de 60): $$\frac{2}{3} \cdot 60 = 40 \text{ fallos}.$$ Buscamos calcular $P(Y \ge 40)$.

Para aproximar una binomial $B(n, p)$ por una normal $N(\mu, \sigma)$, debemos comprobar que: - $n \cdot p = 60 \cdot 0,75 = 45 \gt 5$ - $n \cdot q = 60 \cdot 0,25 = 15 \gt 5$ Como se cumplen las condiciones, aproximamos $Y$ por una variable normal $Y' \sim N(\mu, \sigma)$: $$\mu = n \cdot p = 45$$ $$\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{60 \cdot 0,75 \cdot 0,25} = \sqrt{11,25} \approx 3,3541$$ Por tanto, $Y \approx Y' \sim N(45; \, 3,3541)$. 💡 **Tip:** Recuerda que al pasar de una variable discreta (Binomial) a una continua (Normal) se debe aplicar la corrección por continuidad de Yates.

Aplicamos la corrección por continuidad para el intervalo $Y \ge 40$: $$P(Y \ge 40) = P(Y' \ge 39,5)$$ Ahora tipificamos la variable $Z = \frac{Y' - \mu}{\sigma}$: $$P\left(Z \ge \frac{39,5 - 45}{3,3541}\right) = P\left(Z \ge \frac{-5,5}{3,3541}\right) \approx P(Z \ge -1,6398)$$ Redondeamos a $Z = -1,64$ para usar las tablas de la normal estándar: $$P(Z \ge -1,64) = P(Z \le 1,64)$$ Buscando en la tabla de la $N(0,1)$: $$P(Z \le 1,64) = 0,9495$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(Y \ge 40) \approx 0,9495}$$