Posición relativa, distancia entre rectas y recta perpendicular

**a) (1 punto) Estudiar la posición relativa de ambas rectas y hallar la distancia entre ellas.** Primero, identificamos un punto y un vector director para cada recta. Para la recta $r$, dada en forma continua: - Punto $A(2, -1, 0)$ - Vector director $\vec{v}_r = (3, -1, 1)$ Para la recta $s$, dada como intersección de dos planos, calculamos su vector director mediante el producto vectorial de los normales de los planos o parametrizando: Si hacemos $x = \lambda$: $y = x - 5 = \lambda - 5$ $z = 3 - x = 3 - \lambda$ Obtenemos: - Punto $B(0, -5, 3)$ (haciendo $\lambda = 0$) - Vector director $\vec{v}_s = (1, 1, -1)$ 💡 **Tip:** Para pasar de implícitas a paramétricas, basta con asignar una variable como parámetro (por ejemplo $x=\lambda$) y despejar las demás.

Comparamos los vectores directores $\vec{v}_r = (3, -1, 1)$ y $\vec{v}_s = (1, 1, -1)$. Como sus coordenadas no son proporcionales ($\frac{3}{1} \neq \frac{-1}{1}$), las rectas se cortan o se cruzan. Calculamos el vector que une un punto de cada recta: $\vec{AB} = B - A = (0-2, -5-(-1), 3-0) = (-2, -4, 3)$. Estudiamos el determinante de la matriz formada por $\vec{v}_r$, $\vec{v}_s$ y $\vec{AB}$: $$\text{det}(\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{AB}) = \begin{vmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ -2 & -4 & 3 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\text{det} = [3 \cdot 1 \cdot 3 + (-1) \cdot (-1) \cdot (-2) + 1 \cdot 1 \cdot (-4)] - [1 \cdot 1 \cdot (-2) + (-1) \cdot 1 \cdot 3 + 3 \cdot (-1) \cdot (-4)]$$ $$\text{det} = [9 - 2 - 4] - [-2 - 3 + 12] = 3 - 7 = -4$$ Como el determinante es distinto de cero, los tres vectores son linealmente independientes. Por tanto, las rectas **se cruzan** en el espacio. ✅ **Resultado (posición relativa):** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ se cruzan}}$$

La distancia entre dos rectas que se cruzan se calcula con la fórmula: $$d(r, s) = \frac{|[\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{AB}]|}{|\vec{v}_r \times \vec{v}_s|}$$ Ya sabemos que el producto mixto (numerador) es $|-4| = 4$. Ahora calculamos el producto vectorial del denominador: $$\vec{v}_r \times \vec{v}_s = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1-1) - \mathbf{j}(-3-1) + \mathbf{k}(3+1) = (0, 4, 4)$$ Calculamos su módulo: $$|\vec{v}_r \times \vec{v}_s| = \sqrt{0^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$$ Sustituimos en la fórmula de la distancia: $$d(r, s) = \frac{4}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \text{ unidades}$$ ✅ **Resultado (distancia):** $$\boxed{d(r, s) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707 \text{ u}}$$

**b) (1.5 puntos) Determinar una ecuación de la recta que pasa por $P$ y corta perpendicularmente a la recta $r$.** Para hallar la recta que corta perpendicularmente a $r$ desde $P(5, -1, 2)$, primero determinamos el plano $\pi$ que contiene a $P$ y es perpendicular a $r$. El vector normal del plano será el vector director de la recta: $\vec{n}_\pi = \vec{v}_r = (3, -1, 1)$. La ecuación del plano es: $$3(x - 5) - 1(y + 1) + 1(z - 2) = 0$$ $$3x - 15 - y - 1 + z - 2 = 0 \implies 3x - y + z - 18 = 0$$ 💡 **Tip:** Una recta que corta perpendicularmente a otra siempre está contenida en el plano normal a la segunda que pasa por el punto dado.

Buscamos el punto $Q$, que es la intersección entre la recta $r$ y el plano $\pi$. Usamos las ecuaciones paramétricas de $r$: $$r \equiv \begin{cases} x = 2 + 3\lambda \\ y = -1 - \lambda \\ z = \lambda \end{cases}$$ Sustituimos en la ecuación de $\pi$: $$3(2 + 3\lambda) - (-1 - \lambda) + \lambda - 18 = 0$$ $$6 + 9\lambda + 1 + \lambda + \lambda - 18 = 0$$ $$11\lambda - 11 = 0 \implies \lambda = 1$$ Sustituyendo $\lambda = 1$ en las paramétricas de $r$ obtenemos el punto $Q$: $$x = 2 + 3(1) = 5, \quad y = -1 - (1) = -2, \quad z = 1 \implies Q(5, -2, 1)$$ 💡 **Tip:** El punto $Q$ es la proyección ortogonal de $P$ sobre la recta $r$.

La recta buscada, llamémosla $t$, pasa por $P(5, -1, 2)$ y por $Q(5, -2, 1)$. Su vector director será $\vec{v}_t = \vec{PQ}$: $$\vec{PQ} = Q - P = (5-5, -2-(-1), 1-2) = (0, -1, -1)$$ Podemos simplificar el vector director a $\vec{v}_t = (0, 1, 1)$. La ecuación paramétrica de la recta $t$ es: $$t \equiv \begin{cases} x = 5 \\ y = -1 + \mu \\ z = 2 + \mu \end{cases}$$ ✅ **Resultado (recta perpendicular):** $$\boxed{t \equiv \begin{cases} x = 5 \\ y = -1 + \mu \\ z = 2 + \mu \end{cases}}$$