Estudio de función cúbica y cálculo de área entre curvas

**a) (0.75 puntos) Estudiar si es par o impar y calcular sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento.** Para estudiar la simetría de la función $f(x) = x^3 - 3x$, evaluamos $f(-x)$: $$f(-x) = (-x)^3 - 3(-x)$$ $$f(-x) = -x^3 + 3x$$ Si factorizamos el signo negativo: $$f(-x) = -(x^3 - 3x) = -f(x)$$ Como se cumple la condición $f(-x) = -f(x)$, podemos concluir que la función es **impar**. Esto significa que su gráfica es simétrica respecto al origen de coordenadas $(0,0)$. 💡 **Tip:** Recuerda que una función es par si $f(-x) = f(x)$ (simetría respecto al eje $Y$) e impar si $f(-x) = -f(x)$ (simetría respecto al origen). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La función es impar}}$$

Para estudiar la monotonía, calculamos la primera derivada de $f(x) = x^3 - 3x$: $$f'(x) = 3x^2 - 3$$ Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$3x^2 - 3 = 0 \implies 3x^2 = 3 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$$ Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por estos puntos críticos: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,1) & 1 & (1,+\infty)\\\hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & +\\\hline f(x) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ Justificación del signo: - Para $x \in (-\infty, -1)$, tomamos $x = -2$: $f'(-2) = 3(-2)^2 - 3 = 9 > 0$ (**Creciente**). - Para $x \in (-1, 1)$, tomamos $x = 0$: $f'(0) = 3(0)^2 - 3 = -3 < 0$ (**Decreciente**). - Para $x \in (1, +\infty)$, tomamos $x = 2$: $f'(2) = 3(2)^2 - 3 = 9 > 0$ (**Creciente**). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{aligned} \text{Creciente: } & (-\infty, -1) \cup (1, +\infty) \\ \text{Decreciente: } & (-1, 1) \end{aligned}}$$

**b) (1.75 puntos) Calcular el área de la región acotada delimitada por las gráficas de $f(x)$ y de $g(x) = x(x - 3)$.** Primero, buscamos los puntos de intersección de ambas funciones igualando $f(x) = g(x)$: $$x^3 - 3x = x(x - 3)$$ $$x^3 - 3x = x^2 - 3x$$ Pasamos todos los términos a un lado de la ecuación: $$x^3 - x^2 = 0$$ Factorizamos la expresión: $$x^2(x - 1) = 0$$ Las soluciones son: - $x^2 = 0 \implies x = 0$ (punto de tangencia, raíz doble). - $x - 1 = 0 \implies x = 1$. La región acotada se encuentra en el intervalo **$[0, 1]$**. 💡 **Tip:** Al resolver $f(x) = g(x)$, los valores de $x$ obtenidos serán los límites de integración para calcular el área.

Para calcular el área, determinamos cuál de las dos funciones está por encima en el intervalo $(0, 1)$. Probamos con $x = 0.5$: - $f(0.5) = (0.5)^3 - 3(0.5) = 0.125 - 1.5 = -1.375$ - $g(0.5) = 0.5(0.5 - 3) = 0.5(-2.5) = -1.25$ Como $g(0.5) > f(0.5)$, la función $g(x)$ está por encima de $f(x)$ en dicho intervalo. El área $A$ es: $$A = \int_{0}^{1} [g(x) - f(x)] \, dx = \int_{0}^{1} [x^2 - 3x - (x^3 - 3x)] \, dx$$ $$A = \int_{0}^{1} (x^2 - x^3) \, dx$$ Aplicamos la regla de Barrow paso a paso: $$A = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1}$$ $$A = \left( \frac{1^3}{3} - \frac{1^4}{4} \right) - \left( \frac{0^3}{3} - \frac{0^4}{4} \right)$$ $$A = \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) - 0 = \frac{4 - 3}{12} = \frac{1}{12}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el área siempre debe ser un valor positivo. Si al integrar obtienes un valor negativo, revisa cuál función está por encima o usa valor absoluto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A = \frac{1}{12} \text{ unidades}^2}$$