Probabilidad y Estadística 2024 Madrid
Probabilidad Condicionada, Teorema de la Probabilidad Total e Independencia
En un espacio muestral se tienen dos sucesos incompatibles, $A_1$ y $A_2$, de igual probabilidad 0.4 y se considera $A_3 = \overline{A_1 \cup A_2}$ (por tanto, la probabilidad de $A_3$ es 0.2). De cierto suceso $B$ se sabe que $P(B|A_1) = P(B|A_2)$ y $P(B|A_3) = 2P(B|A_1)$. Y de un suceso $C$ independiente de $A_1$ se sabe que $P(C|A_2) = 0.3$ y $P(C|A_3) = 0.6$. Con estos datos se pide:
a) (1 punto) Calcular la probabilidad de $B$ si $P(B|A_1) = 0.25$.
b) (1.5 puntos) Calcular la probabilidad de $C$ y determinar si $C$ es independiente de $A_2$.
Paso 1
Definición del escenario y árbol de probabilidad para el suceso B
**a) (1 punto) Calcular la probabilidad de $B$ si $P(B|A_1) = 0.25$.**
Primero, identificamos los sucesos y sus probabilidades. Nos dicen que $A_1$ y $A_2$ son incompatibles ($A_1 \cap A_2 = \emptyset$), con $P(A_1) = 0.4$ y $P(A_2) = 0.4$. El suceso $A_3$ es el complementario de su unión:
$$P(A_3) = P(\overline{A_1 \cup A_2}) = 1 - P(A_1 \cup A_2)$$
Como son incompatibles, $P(A_1 \cup A_2) = P(A_1) + P(A_2) = 0.4 + 0.4 = 0.8$, por lo que $P(A_3) = 1 - 0.8 = 0.2$.
Para el apartado a), nos dan $P(B|A_1) = 0.25$. Según el enunciado:
- $P(B|A_2) = P(B|A_1) = 0.25$
- $P(B|A_3) = 2P(B|A_1) = 2 \cdot 0.25 = 0.50$
Podemos representar esta situación con un árbol de probabilidad:
💡 **Tip:** Los sucesos $A_1, A_2, A_3$ forman un sistema completo de sucesos porque son disjuntos y la suma de sus probabilidades es 1.
Paso 2
Aplicar el Teorema de la Probabilidad Total para B
Para calcular $P(B)$ utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**, que suma las probabilidades de las distintas formas en las que puede ocurrir $B$ a través de la partición:
$$P(B) = P(A_1) \cdot P(B|A_1) + P(A_2) \cdot P(B|A_2) + P(A_3) \cdot P(B|A_3)$$
Sustituimos los valores conocidos:
$$P(B) = 0.4 \cdot 0.25 + 0.4 \cdot 0.25 + 0.2 \cdot 0.5$$
$$P(B) = 0.10 + 0.10 + 0.10 = 0.30$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(B) = 0.3}$$
Paso 3
Determinación de la probabilidad de C
**b) (1.5 puntos) Calcular la probabilidad de $C$ y determinar si $C$ es independiente de $A_2$.**
Se nos indica que el suceso $C$ es **independiente de $A_1$**. Por definición de independencia, esto implica que:
$$P(C|A_1) = P(C)$$
Llamemos $x = P(C)$. Usando el Teorema de la Probabilidad Total para $C$:
$$P(C) = P(A_1) \cdot P(C|A_1) + P(A_2) \cdot P(C|A_2) + P(A_3) \cdot P(C|A_3)$$
Sustituimos los datos conocidos del enunciado:
- $P(A_1)=0.4$, $P(A_2)=0.4$, $P(A_3)=0.2$
- $P(C|A_1) = x$
- $P(C|A_2) = 0.3$
- $P(C|A_3) = 0.6$
Sustituimos en la ecuación:
$$x = 0.4 \cdot x + 0.4 \cdot 0.3 + 0.2 \cdot 0.6$$
$$x = 0.4x + 0.12 + 0.12$$
💡 **Tip:** Recuerda que si dos sucesos $X$ e $Y$ son independientes, entonces $P(X|Y) = P(X)$ y $P(Y|X) = P(Y)$.
Paso 4
Resolución de la ecuación para P(C)
Agrupamos los términos con $x$ para resolver la ecuación:
$$x - 0.4x = 0.12 + 0.12$$
$$0.6x = 0.24$$
$$x = \frac{0.24}{0.6} = 0.4$$
Por lo tanto, la probabilidad de $C$ es:
$$\boxed{P(C) = 0.4}$$
Paso 5
Estudio de la independencia de C y A2
Para determinar si $C$ es independiente de $A_2$, comprobamos si se cumple la condición $P(C|A_2) = P(C)$ o si $P(C \cap A_2) = P(C) \cdot P(A_2)$.
Del enunciado sabemos que:
$$P(C|A_2) = 0.3$$
Y acabamos de calcular que:
$$P(C) = 0.4$$
Comparamos ambos valores:
$$0.3 \neq 0.4 \implies P(C|A_2) \neq P(C)$$
Como la probabilidad de que ocurra $C$ cambia cuando sabemos que ha ocurrido $A_2$, concluimos que los sucesos no son independientes.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(C) = 0.4 \text{ y } C \text{ no es independiente de } A_2}$$