Simetría respecto a un plano y distancias en un triángulo

**Apartado a) Determina la ecuación del plano respecto del cual $P(1, -1, 3)$ y $Q(2, 1, -1)$ son simétricos.** Si dos puntos $P$ y $Q$ son simétricos respecto a un plano, dicho plano debe ser el **plano mediador** del segmento $PQ$. Esto implica dos condiciones geométricas fundamentales: 1. El plano es perpendicular al segmento $PQ$, por lo que el vector $\vec{PQ}$ es un vector normal al plano ($\vec{n}$). 2. El plano pasa por el punto medio $M$ del segmento $PQ$. Calculamos primero el vector normal $\vec{n}$: $$\vec{n} = \vec{PQ} = Q - P = (2 - 1, 1 - (-1), -1 - 3) = (1, 2, -4)$$ 💡 **Tip:** El vector que une dos puntos simétricos siempre es perpendicular al plano de simetría. $$\boxed{\vec{n} = (1, 2, -4)}$$

El plano debe contener al punto medio del segmento para que la distancia desde $P$ al plano sea la misma que desde $Q$ al plano. Calculamos las coordenadas de $M$: $$M = \frac{P + Q}{2} = \left( \frac{1 + 2}{2}, \frac{-1 + 1}{2}, \frac{3 - 1}{2} \right)$$ $$M = \left( \frac{3}{2}, 0, 1 \right)$$ 💡 **Tip:** El punto medio se obtiene promediando las coordenadas homólogas de los extremos: $M = (\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}, \frac{z_1+z_2}{2})$. $$\boxed{M = \left( \frac{3}{2}, 0, 1 \right)}$$

La ecuación general de un plano es $Ax + By + Cz + D = 0$, donde $(A, B, C)$ son las componentes del vector normal $\vec{n}$. Sustituimos $\vec{n} = (1, 2, -4)$: $$1x + 2y - 4z + D = 0$$ Para hallar $D$, imponemos que el plano pase por $M\left( \frac{3}{2}, 0, 1 \right)$: $$1 \cdot \left(\frac{3}{2}\right) + 2 \cdot (0) - 4 \cdot (1) + D = 0$$ $$\frac{3}{2} - 4 + D = 0 \implies D = 4 - \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$$ La ecuación queda: $x + 2y - 4z + \frac{5}{2} = 0$. Multiplicamos por $2$ para simplificar: $$2x + 4y - 8z + 5 = 0$$ ✅ **Resultado (Ecuación del plano):** $$\boxed{2x + 4y - 8z + 5 = 0}$$

**Apartado b) Determina las coordenadas del tercer vértice $R$ de un triángulo $PQR$, sabiendo que $R$ pertenece a la recta $r \equiv x - 2 = y = z$, que la suma de los cuadrados de los lados es 34, y que ninguna de las coordenadas de $R$ es nula.** Dado que $R(x, y, z)$ pertenece a la recta $r$, podemos expresar sus coordenadas en función de un solo parámetro $t$: De $x - 2 = y = z = t$, obtenemos: $$x = t + 2$$ $$y = t$$ $$z = t$$ Por tanto, el punto genérico es $R(t + 2, t, t)$. 💡 **Tip:** Siempre es más sencillo trabajar con ecuaciones paramétricas de la recta cuando buscamos un punto desconocido sobre ella. $$\boxed{R(t + 2, t, t)}$$

La condición es $d(P, Q)^2 + d(P, R)^2 + d(Q, R)^2 = 34$. Calculamos cada término: 1. Para $P(1, -1, 3)$ y $Q(2, 1, -1)$: $$d(P, Q)^2 = (2-1)^2 + (1-(-1))^2 + (-1-3)^2 = 1^2 + 2^2 + (-4)^2 = 1 + 4 + 16 = 21$$ 2. Para $P(1, -1, 3)$ y $R(t+2, t, t)$: $$d(P, R)^2 = (t+2-1)^2 + (t-(-1))^2 + (t-3)^2 = (t+1)^2 + (t+1)^2 + (t-3)^2$$ $$d(P, R)^2 = (t^2+2t+1) + (t^2+2t+1) + (t^2-6t+9) = 3t^2 - 2t + 11$$ 3. Para $Q(2, 1, -1)$ y $R(t+2, t, t)$: $$d(Q, R)^2 = (t+2-2)^2 + (t-1)^2 + (t-(-1))^2 = t^2 + (t-1)^2 + (t+1)^2$$ $$d(Q, R)^2 = t^2 + (t^2-2t+1) + (t^2+2t+1) = 3t^2 + 2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $d(A, B)^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2$. $$\boxed{\text{Suma} = 21 + (3t^2 - 2t + 11) + (3t^2 + 2)}$$

Igualamos la suma a $34$: $$21 + 3t^2 - 2t + 11 + 3t^2 + 2 = 34$$ $$6t^2 - 2t + 34 = 34$$ $$6t^2 - 2t = 0$$ Factorizamos para encontrar las raíces: $$2t(3t - 1) = 0$$ Esto nos da dos posibles valores para el parámetro: 1. $2t = 0 \implies t_1 = 0$ 2. $3t - 1 = 0 \implies t_2 = \frac{1}{3}$ $$\boxed{t = 0, \quad t = \frac{1}{3}}$$

Evaluamos los dos posibles puntos: - Si $t = 0$: $R_1(0+2, 0, 0) = (2, 0, 0)$. **Descartado** porque el enunciado dice que ninguna coordenada es nula ($y=0, z=0$). - Si $t = \frac{1}{3}$: $$x = \frac{1}{3} + 2 = \frac{7}{3}$$ $$y = \frac{1}{3}$$ $$z = \frac{1}{3}$$ Como ninguna de estas coordenadas es nula, este es el punto buscado. ✅ **Resultado (Coordenadas de R):** $$\boxed{R\left( \frac{7}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \right)}$$