Propiedades de funciones polinómicas de grado 2

**a) (1 punto) Proponga un ejemplo de función polinómica de grado 2 cuya gráfica sea tangente a la recta $y = x$ en el punto $(0,0)$.** Una función polinómica de grado 2 tiene la forma general: $$f(x) = ax^2 + bx + c, \quad \text{con } a \neq 0$$ Su derivada es $f'(x) = 2ax + b$. Para que la gráfica pase por el punto $(0,0)$ y sea tangente a $y = x$ en dicho punto, se deben cumplir dos condiciones: 1. **Punto de paso:** La función debe pasar por $(0,0)$, es decir, $f(0) = 0$. 2. **Tangencia:** La pendiente de la función en $x=0$ debe ser igual a la pendiente de la recta $y=x$. Como la pendiente de $y=x$ es $1$, entonces $f'(0) = 1$. 💡 **Tip:** Recuerda que si una función $f$ es tangente a una recta $y = mx + n$ en un punto $x_0$, entonces $f'(x_0) = m$.

Aplicamos las condiciones anteriores: - De $f(0) = 0$ obtenemos: $$a(0)^2 + b(0) + c = 0 \implies c = 0$$ - De $f'(0) = 1$ obtenemos: $$2a(0) + b = 1 \implies b = 1$$ Como el enunciado nos pide "un ejemplo", podemos elegir cualquier valor para $a$ siempre que $a \neq 0$. Tomamos, por ejemplo, $a = 1$. La función resultante es: $$f(x) = 1x^2 + 1x + 0 = x^2 + x$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{f(x) = x^2 + x}$$ *(Nota: Cualquier función de la forma $f(x) = ax^2 + x$ con $a \neq 0$ sería válida)*

**b) (1 punto) Proponga un ejemplo de función polinómica de grado 2 que tenga un máximo relativo en el punto $(1,1)$.** Sea de nuevo $f(x) = ax^2 + bx + c$. Para que tenga un máximo relativo en $(1,1)$ se deben cumplir tres condiciones: 1. **Punto de paso:** $f(1) = 1$. 2. **Extremo relativo:** La derivada en ese punto debe ser nula, $f'(1) = 0$. 3. **Carácter de máximo:** Para que sea un máximo, la segunda derivada debe ser negativa en ese punto, $f''(1) \lt 0$. Calculamos las derivadas: $$f'(x) = 2ax + b$$ $$f''(x) = 2a$$ 💡 **Tip:** Para que una función de segundo grado tenga un máximo, su coeficiente principal $a$ debe ser negativo (la parábola debe ser cóncava hacia abajo).

Planteamos el sistema con las condiciones 1 y 2: 1. $f(1) = 1 \implies a(1)^2 + b(1) + c = 1 \implies a + b + c = 1$ 2. $f'(1) = 0 \implies 2a(1) + b = 0 \implies b = -2a$ Sustituimos $b = -2a$ en la primera ecuación: $$a + (-2a) + c = 1 \implies -a + c = 1 \implies c = 1 + a$$ Ahora elegimos un valor para $a$ que cumpla la condición de máximo ($a \lt 0$). Sea $a = -1$: - $b = -2(-1) = 2$ - $c = 1 + (-1) = 0$ La función propuesta es $f(x) = -x^2 + 2x$. Comprobamos el máximo: $f''(1) = 2a = 2(-1) = -2 \lt 0$. Se cumple. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f(x) = -x^2 + 2x}$$

**c) (0.5 puntos) Justifique si una función polinómica de grado 2 puede tener dos extremos relativos en $\mathbb{R}$.** Sea $f(x) = ax^2 + bx + c$ con $a \neq 0$. Los extremos relativos de una función derivable en todo $\mathbb{R}$ solo pueden encontrarse en los puntos donde su primera derivada se anula ($f'(x) = 0$). Calculamos la primera derivada: $$f'(x) = 2ax + b$$ Esta derivada es una función polinómica de **grado 1**. Para hallar los puntos críticos, igualamos a cero: $$2ax + b = 0$$ Como $a \neq 0$, esta es una ecuación lineal que tiene una única solución única: $$x = -\frac{b}{2a}$$ Al existir un único valor de $x$ que anula la derivada, la función solo puede tener un único extremo relativo (que corresponde al vértice de la parábola). 💡 **Tip:** Un polinomio de grado $n$ puede tener, como máximo, $n-1$ extremos relativos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No, una función de grado 2 solo puede tener un único extremo relativo.}}$$