Discusión y resolución de un sistema con parámetro

**a) (1.5 puntos) Discutir el sistema en función de los valores de $\lambda$.** Primero, reescribimos el sistema en la forma estándar $AX = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $B$ es el término independiente: $$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ \lambda - 1 & 1 & 1 \\ 1 & \lambda - 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ \lambda \\ 0 \end{pmatrix}$$ Identificamos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ \lambda - 1 & 1 & 1 \\ 1 & \lambda - 1 & 1 \end{pmatrix} \quad ; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 1 & 1 & 1 \\ \lambda - 1 & 1 & 1 & \lambda \\ 1 & \lambda - 1 & 1 & 0 \end{array}\right)$$ 💡 **Tip:** Para discutir un sistema con parámetros, el primer paso suele ser calcular el determinante de la matriz de coeficientes para ver cuándo su rango es máximo.

Calculamos el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ \lambda - 1 & 1 & 1 \\ 1 & \lambda - 1 & 1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [0 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 1 + (\lambda - 1) \cdot (\lambda - 1) \cdot 1] - [1 \cdot 1 \cdot 1 + (\lambda - 1) \cdot 1 \cdot 1 + 0 \cdot (\lambda - 1) \cdot 1]$$ $$|A| = [0 + 1 + (\lambda - 1)^2] - [1 + \lambda - 1 + 0]$$ $$|A| = 1 + \lambda^2 - 2\lambda + 1 - \lambda = \lambda^2 - 3\lambda + 2$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$\lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0 \implies \lambda = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$$ Esto nos da dos valores: **$\lambda = 1$** y **$\lambda = 2$**.

Analizamos los casos posibles: **Caso 1: $\lambda \neq 1$ y $\lambda \neq 2$** En este caso, $|A| \neq 0$. Por lo tanto, el rango de $A$ es 3 y el rango de $A^*$ también es 3. Al coincidir con el número de incógnitas, según el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es **Sistema Compatible Determinado (SCD)**. **Caso 2: $\lambda = 1$** La matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right)$$ Como las filas 1 y 2 son iguales, $|A|=0$ y el $\text{rango}(A)$ no puede ser 3. El menor $\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1 \neq 0$ indica que $\text{rango}(A) = 2$. Como la columna de términos independientes es igual a las anteriores en las filas repetidas, $\text{rango}(A^*) = 2$. Al ser $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 2 \lt 3$, es un **Sistema Compatible Indeterminado (SCI)**. **Caso 3: $\lambda = 2$** La matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right)$$ Aquí, $\text{rango}(A) = 2$ (filas 2 y 3 iguales). Sin embargo, al comparar las filas 2 y 3 en $A^*$, vemos que $x+y+z=2$ y $x+y+z=0$, lo cual es imposible. Calculando un menor de $A^*$ de orden 3: $$\begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = (0+2+1)-(1+0+0) = 2 \neq 0 \implies \text{rango}(A^*) = 3$$ Como $\text{rango}(A) \neq \text{rango}(A^*)$, es un **Sistema Incompatible (SI)**. ✅ **Resultado de la discusión:** $$\boxed{\begin{cases} \lambda \neq 1, 2: \text{SCD} \\ \lambda = 1: \text{SCI} \\ \lambda = 2: \text{SI} \end{cases}}$$

**b) (1 punto) Resolver el sistema en el caso $\lambda = 1$ y encontrar, si es posible, una solución con $x = 5$.** Para $\lambda = 1$, el sistema se reduce a dos ecuaciones independientes (ya que la primera y la segunda son idénticas): $$1) \ y + z = 1$$ $$2) \ x + z = 0$$ Para resolver el SCI, usamos un parámetro. Sea **$z = alpha$**: De la ecuación 2: $x = -z = -\alpha$ De la ecuación 1: $y = 1 - z = 1 - \alpha$ La solución general es: $$\boxed{(x, y, z) = (-\alpha, 1 - \alpha, \alpha) \text{ para } \alpha \in \mathbb{R}}$$

Se nos pide encontrar, si existe, una solución donde $x = 5$. Usando la expresión de la solución general: $$x = -\alpha = 5 \implies \alpha = -5$$ Ahora calculamos los valores de $y$ y $z$ para ese valor de $\alpha$: $$z = \alpha = -5$$ $$y = 1 - \alpha = 1 - (-5) = 6$$ Comprobamos en las ecuaciones originales: - $y + z = 6 + (-5) = 1$ (Correcto) - $x + z = 5 + (-5) = 0$ (Correcto) ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{La solución es } (x, y, z) = (5, 6, -5)}$$