Probabilidad con dados y puntuaciones condicionadas

**a) (1 punto) Calcular la probabilidad de obtener una puntuación de 10. Calcular la probabilidad de obtener una puntuación impar.** Definimos las variables aleatorias: - $A$: Resultado del dado azul ($A \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$). - $R$: Resultado del dado rojo ($R \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$). El espacio muestral $\Omega$ consiste en $6 \times 6 = 36$ resultados equiprobables. La puntuación final $S$ se define según la paridad de $A$: - Si $A$ es par ($2, 4, 6$): $S = A + 2R$ - Si $A$ es impar ($1, 3, 5$): $S = A + R$ Podemos representar el experimento con el siguiente árbol de decisión basado en la paridad de $A$: 💡 **Tip:** En experimentos de varias etapas o con condiciones, organizar los casos por la primera condición (paridad de $A$) facilita el recuento de casos favorables.

Buscamos los pares $(A, R)$ tales que $S = 10$: 1. **Si $A$ es par** ($A \in \{2, 4, 6\}$), la fórmula es $A + 2R = 10 \implies 2R = 10 - A$: - Si $A = 2 \implies 2R = 8 \implies R = 4$. Caso: $(2, 4)$ - Si $A = 4 \implies 2R = 6 \implies R = 3$. Caso: $(4, 3)$ - Si $A = 6 \implies 2R = 4 \implies R = 2$. Caso: $(6, 2)$ 2. **Si $A$ es impar** ($A \in \{1, 3, 5\}$), la fórmula es $A + R = 10 \implies R = 10 - A$: - Si $A = 1 \implies R = 9$ (imposible, $R \le 6$) - Si $A = 3 \implies R = 7$ (imposible, $R \le 6$) - Si $A = 5 \implies R = 5$. Caso: $(5, 5)$ Sumamos los casos favorables: $3 + 1 = 4$ casos. $$P(S = 10) = \frac{\text{Casos favorables}}{\text{Casos totales}} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(S=10) = \frac{1}{9} \approx 0.1111}$$

Analizamos la paridad de $S$ según el valor de $A$: - **Caso $A$ par:** $S = A + 2R$. Como $A$ es par y $2R$ siempre es par, la suma de dos números pares es siempre **par**. No hay casos de puntuación impar aquí (0 casos). - **Caso $A$ impar:** $S = A + R$. Para que $S$ sea impar siendo $A$ impar, **$R$ debe ser par**. - Opciones para $A$ (impar): $\{1, 3, 5\}$ (3 opciones). - Opciones para $R$ (par): $\{2, 4, 6\}$ (3 opciones). - Total de casos favorables: $3 \times 3 = 9$ casos. Total de casos donde $S$ es impar: $0 + 9 = 9$. $$P(S \text{ es impar}) = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\text{par} + \text{par} = \text{par}$ e $\text{impar} + \text{par} = \text{impar}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(S \text{ es impar}) = \frac{1}{4} = 0.25}$$

**b) (1.5 puntos) Calcular la probabilidad de haber obtenido un número par en el dado azul sabiendo que la puntuación final ha sido 8. Calcular la probabilidad de haber obtenido un número impar en el dado rojo sabiendo que la puntuación final ha sido un número par.** Primero, calculamos $P(A \text{ par} | S = 8)$. Por la definición de probabilidad condicionada: $$P(A \text{ par} | S = 8) = \frac{P(A \text{ par} \cap S = 8)}{P(S = 8)}$$ Identificamos los casos para $S = 8$: - **$A$ par:** $A + 2R = 8$ - $A=2 \implies 2R=6 \implies R=3 \rightarrow (2, 3)$ - $A=4 \implies 2R=4 \implies R=2 \rightarrow (4, 2)$ - $A=6 \implies 2R=2 \implies R=1 \rightarrow (6, 1)$ (3 casos favorables a $A$ par e $S=8$) - **$A$ impar:** $A + R = 8$ - $A=1 \implies R=7$ (No) - $A=3 \implies R=5 \rightarrow (3, 5)$ - $A=5 \implies R=3 \rightarrow (5, 3)$ (2 casos favorables a $A$ impar e $S=8$) Total de casos para $S=8$ es $3 + 2 = 5$. Por tanto, $P(S=8) = 5/36$. $$P(A \text{ par} | S = 8) = \frac{3/36}{5/36} = \frac{3}{5}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A \text{ par} | S=8) = \frac{3}{5} = 0.6}$$

Calculamos $P(R \text{ impar} | S \text{ par})$. Necesitamos $P(S \text{ par})$ y $P(R \text{ impar} \cap S \text{ par})$. 1. **Calcular $P(S \text{ par})$:** Como $P(S \text{ impar}) = 1/4$ (calculado en el apartado a), entonces: $$P(S \text{ par}) = 1 - P(S \text{ impar}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} = \frac{27}{36}$$ 2. **Calcular casos favorables a ($R$ impar y $S$ par):** - **Caso $A$ par** (18 casos totales): En este caso $S$ siempre es par. Para que $R$ sea impar, $R \in \{1, 3, 5\}$. Casos: $3 (A) \times 3 (R) = 9$ casos. - **Caso $A$ impar** (18 casos totales): Vimos que $S$ es par si y solo si $R$ es impar ($A \text{ impar} + R \text{ impar} = \text{ par}$). Como la condición pide específicamente que $R$ sea impar, todos los resultados de $S$ par aquí cumplen la condición. Casos: $3 (A) \times 3 (R) = 9$ casos. Total casos favorables $(R \text{ impar} \cap S \text{ par}) = 9 + 9 = 18$. 3. **Aplicar fórmula:** $$P(R \text{ impar} | S \text{ par}) = \frac{18/36}{27/36} = \frac{18}{27} = \frac{2}{3}$$ 💡 **Tip:** El uso del suceso complementario $P(S \text{ par}) = 1 - P(S \text{ impar})$ ahorra mucho tiempo de recuento. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(R \text{ impar} | S \text{ par}) = \frac{2}{3} \approx 0.6667}$$