Geometría en el Espacio: Tetraedros y Paralelepípedos

**a) (1.5 puntos) A partir de la cantidad de material utilizado por la impresora sabemos que el volumen del tetraedro es $V = 1$. También sabemos que la longitud de ninguna de sus aristas supera la altura de la impresora, que es de 10. Determine los posibles valores de $a$.** El volumen $V$ de un tetraedro definido por cuatro puntos $P_1, P_2, P_3, P_4$ se calcula mediante el valor absoluto del producto mixto de los vectores que parten de un mismo vértice, dividido por 6: $$V = \frac{1}{6} |[\vec{P_1P_2}, \vec{P_1P_3}, \vec{P_1P_4}]|$$ Primero, calculamos los vectores que forman el tetraedro desde $P_1(1,1,1)$: $$\vec{P_1P_2} = (2-1, 1-1, 0-1) = (1, 0, -1)$$ $$\vec{P_1P_3} = (1-1, 3-1, 2-1) = (0, 2, 1)$$ $$\vec{P_1P_4} = (3-1, a-1, 3-1) = (2, a-1, 2)$$ 💡 **Tip:** El volumen de un tetraedro es la sexta parte del volumen del paralelepípedo definido por los mismos vectores.

Calculamos el producto mixto mediante el determinante de los tres vectores utilizando la regla de Sarrus: $$\text{det} = \begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & a-1 & 2 \end{vmatrix}$$ $$\text{det} = [1\cdot 2 \cdot 2 + 0 \cdot 1 \cdot 2 + (-1) \cdot 0 \cdot (a-1)] - [(-1) \cdot 2 \cdot 2 + 0 \cdot 0 \cdot 2 + 1 \cdot (a-1) \cdot 1]$$ $$\text{det} = [4 + 0 + 0] - [-4 + 0 + a - 1] = 4 - (a - 5) = 9 - a$$ Igualamos el volumen a 1: $$\frac{1}{6} |9 - a| = 1 \implies |9 - a| = 6$$ Esto nos da dos posibles casos: 1. $9 - a = 6 \implies \mathbf{a = 3}$ 2. $9 - a = -6 \implies \mathbf{a = 15}$

Debemos comprobar que ninguna arista supere la longitud de 10. Las aristas son las distancias entre los puntos $P_i$ y $P_j$. **Caso $a = 15$:** El punto es $P_4(3, 15, 3)$. Calculamos la longitud de la arista $P_1P_4$: $$|\vec{P_1P_4}| = \sqrt{(3-1)^2 + (15-1)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{2^2 + 14^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 196 + 4} = \sqrt{204} \approx 14.28$$ Como $14.28 \gt 10$, el valor **$a = 15$ queda descartado**. **Caso $a = 3$:** El punto es $P_4(3, 3, 3)$. Comprobamos las aristas que dependen de $P_4$: - $|\vec{P_1P_4}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{12} \approx 3.46 \lt 10$ - $|\vec{P_2P_4}| = \sqrt{(3-2)^2 + (3-1)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{14} \approx 3.74 \lt 10$ - $|\vec{P_3P_4}| = \sqrt{(3-1)^2 + (3-3)^2 + (3-2)^2} = \sqrt{2^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{5} \approx 2.24 \lt 10$ Las aristas fijas ($P_1P_2, P_1P_3, P_2P_3$) también son menores que 10. ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{a = 3}$$

**b) (1 punto) Dado el punto $Q(3,3,3)$, se quiere imprimir ahora el paralelepípedo que tiene a los segmentos $P_1P_2$, $P_1P_3$ y $P_1Q$ como aristas. ¿Cuáles serían los valores de las coordenadas de los ocho vértices del paralelepípedo que habría que suministrar al ordenador?** Llamamos a los vectores directores de las aristas desde $P_1(1,1,1)$: $\vec{u} = \vec{P_1P_2} = (1, 0, -1)$ $\vec{v} = \vec{P_1P_3} = (0, 2, 1)$ $\vec{w} = \vec{P_1Q} = (2, 2, 2)$ Los 8 vértices se obtienen sumando combinaciones de estos vectores al punto origen $P_1$: 1. $V_1 = P_1 = \mathbf{(1, 1, 1)}$ 2. $V_2 = P_1 + \vec{u} = P_2 = \mathbf{(2, 1, 0)}$ 3. $V_3 = P_1 + \vec{v} = P_3 = \mathbf{(1, 3, 2)}$ 4. $V_4 = P_1 + \vec{w} = Q = \mathbf{(3, 3, 3)}$ 5. $V_5 = P_1 + \vec{u} + \vec{v} = (1+1+0, 1+0+2, 1-1+1) = \mathbf{(2, 3, 1)}$ 6. $V_6 = P_1 + \vec{u} + \vec{w} = (1+1+2, 1+0+2, 1-1+2) = \mathbf{(4, 3, 2)}$ 7. $V_7 = P_1 + \vec{v} + \vec{w} = (1+0+2, 1+2+2, 1+1+2) = \mathbf{(3, 5, 4)}$ 8. $V_8 = P_1 + \vec{u} + \vec{v} + \vec{w} = (1+1+0+2, 1+0+2+2, 1-1+1+2) = \mathbf{(4, 5, 3)}$ ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{(1,1,1), (2,1,0), (1,3,2), (3,3,3), (2,3,1), (4,3,2), (3,5,4), (4,5,3)}$$