Integral definida y límite con indeterminación exponencial

**a) (1.25 puntos) $\int_{1}^{e} (x+2) \ln x \,dx$.** Para resolver esta integral, utilizaremos el método de **integración por partes**, ya que tenemos el producto de una función polinómica $(x+2)$ y una función logarítmica $\ln x$. 💡 **Tip:** Recuerda la regla de integración por partes: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Una regla mnemotécnica útil para elegir $u$ es **ALPES** (Arcos, Logaritmos, Polinomios, Exponenciales, Senos/Cosenos). Elegimos las partes: - $u = \ln x \implies du = \dfrac{1}{x} dx$ - $dv = (x+2) dx \implies v = \int (x+2) dx = \dfrac{x^2}{2} + 2x$

Aplicamos la fórmula de integración por partes: $$\int (x+2) \ln x \, dx = \left( \dfrac{x^2}{2} + 2x \right) \ln x - \int \left( \dfrac{x^2}{2} + 2x \right) \dfrac{1}{x} dx$$ Simplificamos el integrando de la segunda integral distribuyendo el $\frac{1}{x}$: $$\int \left( \dfrac{x^2}{2} + 2x \right) \dfrac{1}{x} dx = \int \left( \dfrac{x}{2} + 2 \right) dx = \dfrac{x^2}{4} + 2x$$ Por tanto, la primitiva $F(x)$ es: $$F(x) = \left( \dfrac{x^2}{2} + 2x \right) \ln x - \left( \dfrac{x^2}{4} + 2x \right)$$

Ahora evaluamos la integral definida entre los límites $1$ y $e$ utilizando la **Regla de Barrow**: $$\int_{1}^{e} (x+2) \ln x \, dx = \left[ \left( \dfrac{x^2}{2} + 2x \right) \ln x - \left( \dfrac{x^2}{4} + 2x \right) \right]_{1}^{e}$$ Evaluamos en el límite superior ($x=e$): $$F(e) = \left( \dfrac{e^2}{2} + 2e \right) \ln e - \left( \dfrac{e^2}{4} + 2e \right) = \dfrac{e^2}{2} + 2e - \dfrac{e^2}{4} - 2e = \dfrac{e^2}{4}$$ Evaluamos en el límite inferior ($x=1$): $$F(1) = \left( \dfrac{1^2}{2} + 2(1) \right) \ln 1 - \left( \dfrac{1^2}{4} + 2(1) \right) = 0 - \left( \dfrac{1}{4} + 2 \right) = -\dfrac{9}{4}$$ Calculamos la diferencia: $$\int_{1}^{e} (x+2) \ln x \, dx = F(e) - F(1) = \dfrac{e^2}{4} - \left( -\dfrac{9}{4} \right) = \dfrac{e^2 + 9}{4}$$ ✅ **Resultado final del apartado a):** $$\boxed{\dfrac{e^2+9}{4}}$$

**b) (1.25 puntos) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \left(\operatorname{tg}\frac{x}{2}\right)^{\left(\frac{1}{\cos x}\right)}$.** Primero evaluamos el límite directamente para identificar el tipo de indeterminación: - Para la base: $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}\right) = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$. - Para el exponente: $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{1}{\cos x} = \dfrac{1}{0} = \infty$. Estamos ante una indeterminación de tipo **$1^\infty$**. Para resolverlo, llamamos $L$ al límite y aplicamos logaritmos neperianos: $$\ln L = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \ln \left[ \left(\operatorname{tg}\frac{x}{2}\right)^{\frac{1}{\cos x}} \right] = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{\ln \left(\operatorname{tg}\frac{x}{2}\right)}{\cos x}$$ Al evaluar este nuevo límite, obtenemos $\frac{\ln 1}{\cos(\pi/2)} = \frac{0}{0}$, lo cual permite aplicar la Regla de L'Hôpital.

Derivamos el numerador y el denominador de forma independiente: - Derivada del numerador: $\left[ \ln \left( \operatorname{tg}\frac{x}{2} \right) \right]' = \dfrac{1}{\operatorname{tg}\frac{x}{2}} \cdot \sec^2\left(\frac{x}{2}\right) \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} \cdot \dfrac{1}{\cos^2(x/2)} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2\sin(x/2)\cos(x/2)}$ Utilizando la identidad del ángulo doble $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$, tenemos: $$\left[ \ln \left( \operatorname{tg}\frac{x}{2} \right) \right]' = \dfrac{1}{\sin x}$$ - Derivada del denominador: $[\cos x]' = -\sin x$ Sustituimos en el límite: $$\ln L = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{\frac{1}{\sin x}}{-\sin x} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \left( -\dfrac{1}{\sin^2 x} \right)$$ Evaluamos el límite: $$\ln L = -\dfrac{1}{\sin^2(\pi/2)} = -\dfrac{1}{1^2} = -1$$ 💡 **Tip:** Cuando tengas un límite del tipo $\lim f(x)^{g(x)} = 1^\infty$, el resultado suele ser de la forma $e^k$, donde $k$ es el límite del logaritmo.

Teníamos que $\ln L = -1$. Para hallar $L$, aplicamos la función exponencial en ambos lados: $$L = e^{-1} = \dfrac{1}{e}$$ ✅ **Resultado final del apartado b):** $$\boxed{\dfrac{1}{e}}$$