Operaciones matriciales, determinantes y sistemas de ecuaciones

**a) (1.25 puntos) Encontrar todos los valores de $b$ para los que se verifica $BCB^{-1} = A$.** Para trabajar de forma más cómoda, multiplicamos por la derecha por la matriz $B$ en ambos miembros de la igualdad $BCB^{-1} = A$. De esta forma, evitamos tener que calcular la matriz inversa $B^{-1}$: $$BCB^{-1}B = AB \implies BC = AB$$ Para que la matriz $B^{-1}$ exista, su determinante debe ser distinto de cero. Calculamos $|B|$: $$|B| = \begin{vmatrix} b & 2b & b \\ 2b & 3b & b \\ b & b & b \end{vmatrix} = b^3 \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ Aplicando la regla de Sarrus: $$|B| = b^3 [ (3+2+2) - (3+1+4) ] = b^3 [ 7 - 8 ] = -b^3$$ Como el enunciado indica que $b \neq 0$, entonces $|B| \neq 0$ y **la matriz $B$ es siempre invertible**. 💡 **Tip:** Siempre que tengas una ecuación del tipo $X B^{-1} = A$, es más rápido operar como $X = AB$ que calcular la inversa.

Calculamos el producto $BC$ (aprovechando que $C$ es una matriz diagonal): $$BC = \begin{pmatrix} b & 2b & b \\ 2b & 3b & b \\ b & b & b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2b & 4b & 3b \\ 4b & 6b & 3b \\ 2b & 2b & 3b \end{pmatrix}$$ Calculamos el producto $AB$: $$AB = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b & 2b & b \\ 2b & 3b & b \\ b & b & b \end{pmatrix}$$ Realizamos las operaciones fila por columna: - Fila 1: $(3b-2b+b=2b, \quad 6b-3b+b=4b, \quad 3b-b+b=3b)$ - Fila 2: $(b+2b+b=4b, \quad 2b+3b+b=6b, \quad b+b+b=3b)$ - Fila 3: $(b-2b+3b=2b, \quad 2b-3b+3b=2b, \quad b-b+3b=3b)$ $$AB = \begin{pmatrix} 2b & 4b & 3b \\ 4b & 6b & 3b \\ 2b & 2b & 3b \end{pmatrix}$$ Como $BC$ y $AB$ coinciden para cualquier valor de $b$, y hemos comprobado que $B$ es invertible para todo $b \neq 0$, la igualdad se cumple siempre. ✅ **Resultado:** $$\boxed{b \in \mathbb{R} \setminus \{0\}}$$

**b) (0.75 puntos) Calcular el determinante de la matriz $AA^t$.** Utilizamos las propiedades de los determinantes: 1. $|M \cdot N| = |M| \cdot |N|$ 2. $|M^t| = |M|$ Por tanto: $|AA^t| = |A| \cdot |A^t| = |A| \cdot |A| = |A|^2$. Calculamos $|A|$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \end{vmatrix} = [ (9 - 1 - 1) - (1 - 3 - 3) ]$$ $$|A| = [ 7 - (-5) ] = 7 + 5 = 12$$ Entonces: $$|AA^t| = 12^2 = 144$$ 💡 **Tip:** No es necesario calcular la matriz producto $AA^t$ explícitamente; usar las propiedades del determinante ahorra mucho tiempo y reduce errores. ✅ **Resultado:** $$\boxed{|AA^t| = 144}$$

**c) (0.5 puntos) Resolver el sistema $B \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ para $b=1$.** Sustituimos $b=1$ en la matriz $B$ y planteamos el sistema: $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \implies \begin{cases} x + 2y + z = 3 \\ 2x + 3y + z = -1 \\ x + y + z = 1 \end{cases}$$ Resolvemos por reducción (Gauss): Restamos la tercera ecuación a la primera: $$(x + 2y + z) - (x + y + z) = 3 - 1 \implies y = 2$$ Sustituimos $y=2$ en las otras dos ecuaciones: 1) $x + 4 + z = 3 \implies x + z = -1$ 2) $2x + 6 + z = -1 \implies 2x + z = -7$ Restamos la primera a la segunda: $$(2x + z) - (x + z) = -7 - (-1) \implies x = -6$$ Finalmente, calculamos $z$: $$-6 + z = -1 \implies z = 5$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = -6, y = 2, z = 5}$$