Probabilidad condicionada e independencia

**a) (1.5 puntos) Calcular $P(A \cap B)$ y $P(B)$.** En primer lugar, a partir del suceso contrario $\bar{A}$, obtenemos la probabilidad de $A$ utilizando la propiedad fundamental: $$P(A) = 1 - P(\bar{A})$$ Sustituimos el valor dado: $$P(A) = 1 - \frac{11}{20} = \frac{20 - 11}{20} = \frac{9}{20}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de la probabilidad de un suceso y la de su contrario siempre es 1.

Para hallar $P(A \cap B)$, utilizamos la relación entre un suceso y su diferencia con otro. Sabemos que el suceso $A$ se puede descomponer como la unión disjunta de los elementos de $A$ que están en $B$ y los que no: $$P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \bar{B})$$ Despejamos $P(A \cap B)$: $$P(A \cap B) = P(A) - P(A \cap \bar{B})$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(A \cap B) = \frac{9}{20} - \frac{3}{10} = \frac{9}{20} - \frac{6}{20} = \frac{3}{20}$$ ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{P(A \cap B) = \frac{3}{20}}$$

Utilizamos el dato de la diferencia de las probabilidades condicionadas: $$P(A|B) - P(B|A) = \frac{1}{24}$$ Recordamos la definición de probabilidad condicionada: $P(X|Y) = \frac{P(X \cap Y)}{P(Y)}$. Sustituimos en la ecuación: $$\frac{P(A \cap B)}{P(B)} - \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{1}{24}$$ Ya conocemos $P(A \cap B) = \frac{3}{20}$ y $P(A) = \frac{9}{20}$. Calculamos primero el término $P(B|A)$: $$P(B|A) = \frac{3/20}{9/20} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$$ Ahora sustituimos en la ecuación principal: $$\frac{3/20}{P(B)} - \frac{1}{3} = \frac{1}{24}$$ Sumamos $\frac{1}{3}$ a ambos lados: $$\frac{3/20}{P(B)} = \frac{1}{24} + \frac{1}{3} = \frac{1 + 8}{24} = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}$$ Finalmente, despejamos $P(B)$: $$P(B) = \frac{3/20}{3/8} = \frac{3 \cdot 8}{20 \cdot 3} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$$ ✅ **Resultado final apartado a):** $$\boxed{P(B) = \frac{2}{5} = 0.4}$$

**b) (1 punto) Calcular $P(C)$, siendo $C$ otro suceso del espacio muestral, independiente de $A$ y que verifica que $P(A \cup C) = \frac{14}{25}$.** Al ser $A$ y $C$ **independientes**, se cumple que: $$P(A \cap C) = P(A) \cdot P(C)$$ Utilizamos la fórmula de la probabilidad de la unión de dos sucesos: $$P(A \cup C) = P(A) + P(C) - P(A \cap C)$$ Sustituimos la propiedad de independencia en la fórmula: $$P(A \cup C) = P(A) + P(C) - P(A) \cdot P(C)$$ Introducimos los valores conocidos ($P(A \cup C) = \frac{14}{25}$ y $P(A) = \frac{9}{20}$): $$\frac{14}{25} = \frac{9}{20} + P(C) - \frac{9}{20}P(C)$$ Agrupamos los términos con $P(C)$: $$\frac{14}{25} - \frac{9}{20} = P(C) \left( 1 - \frac{9}{20} \right)$$ Operamos las fracciones (mínimo común múltiplo de 25 y 20 es 100): $$\frac{56}{100} - \frac{45}{100} = P(C) \cdot \frac{11}{20}$$ $$\frac{11}{100} = P(C) \cdot \frac{11}{20}$$ Despejamos $P(C)$: $$P(C) = \frac{11}{100} \cdot \frac{20}{11} = \frac{20}{100} = \frac{1}{5}$$ 💡 **Tip:** Si dos sucesos son independientes, su probabilidad de la unión se puede simplificar también como $P(A \cup C) = 1 - P(\bar{A})P(\bar{C})$. ✅ **Resultado final apartado b):** $$\boxed{P(C) = \frac{1}{5} = 0.2}$$