Geometría: Planos y Rectas Paralelas

**a) (1 punto) Hallar una ecuación del plano que pasa por los puntos $A$ y $B$ y es perpendicular al plano $z=0$.** Para determinar la ecuación de un plano $\pi$, necesitamos un punto y un vector normal, o un punto y dos vectores directores que pertenezcan al plano. 1. El plano pasa por $A(0,0,1)$ y $B(1,1,0)$, por lo que contiene al vector: $$\vec{v_1} = \vec{AB} = B - A = (1-0, 1-0, 0-1) = (1, 1, -1).$$ 2. El plano es perpendicular al plano $\pi_0: z=0$. El vector normal de $\pi_0$ es $\vec{n_0} = (0, 0, 1)$. Como nuestro plano es perpendicular a $\pi_0$, el vector $\vec{n_0}$ debe ser paralelo a nuestro plano (vector director). $$\vec{v_2} = (0, 0, 1).$$ 💡 **Tip:** Si un plano es perpendicular a otro, el vector normal del segundo actúa como vector director del primero.

Obtenemos el vector normal $\vec{n_\pi}$ realizando el producto vectorial de los dos vectores directores hallados: $$\vec{n_\pi} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus (o desarrollo por la última fila): $$\vec{n_\pi} = 0\vec{k} + 0\vec{j} + 1\vec{i} - (0\vec{k} + 0\vec{i} + 1\vec{j}) = (1, -1, 0).$$ $$\boxed{\vec{n_\pi} = (1, -1, 0)}$$

La ecuación general de un plano con vector normal $(A, B, C)$ es $Ax + By + Cz + D = 0$. En nuestro caso: $$1x - 1y + 0z + D = 0 \implies x - y + D = 0.$$ Como el plano pasa por $A(0, 0, 1)$: $$0 - 0 + D = 0 \implies D = 0.$$ Por tanto, la ecuación del plano buscado es: $$\boxed{x - y = 0}$$ ✅ **Resultado (apartado a):** El plano es $x - y = 0$.

**b) (1.5 puntos) Hallar ecuaciones de dos rectas paralelas, $r_1$ y $r_2$, que pasen por los puntos $A$ y $B$ respectivamente, estén en el plano $x+z=1$ y tales que la distancia entre ellas sea 1.** Primero comprobamos que los puntos $A(0,0,1)$ y $B(1,1,0)$ están en el plano $\pi_1: x+z=1$: - Para $A$: $0 + 1 = 1$ (Correcto). - Para $B$: $1 + 0 = 1$ (Correcto). Sean $r_1$ y $r_2$ dos rectas paralelas. Ambas deben tener el mismo vector director $\vec{u} = (u_x, u_y, u_z)$. Como ambas están en el plano $x+z=1$, el vector $\vec{u}$ debe ser perpendicular al normal del plano $\vec{n}_1 = (1, 0, 1)$: $$\vec{u} \cdot \vec{n}_1 = 0 \implies u_x \cdot 1 + u_y \cdot 0 + u_z \cdot 1 = 0 \implies u_x + u_z = 0 \implies u_z = -u_x.$$ Podemos definir el vector director como $\vec{u} = (a, b, -a)$. 💡 **Tip:** Para que una recta esté contenida en un plano, su vector director debe ser perpendicular al vector normal del plano y el punto de la recta debe pertenecer al plano.

La distancia entre dos rectas paralelas es la distancia de un punto de una ($A$) a la otra ($r_2$). Usamos la fórmula: $$d(r_1, r_2) = d(A, r_2) = \frac{|\vec{AB} \times \vec{u}|}{|\vec{u}|}$$ Sabemos que $\vec{AB} = (1, 1, -1)$ y $\vec{u} = (a, b, -a)$. Calculamos el producto vectorial: $$\vec{AB} \times \vec{u} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & -1 \\ a & b & -a \end{vmatrix} = (-a+b)\vec{i} - (-a+a)\vec{j} + (b-a)\vec{k} = (b-a, 0, b-a)$$ El módulo del producto vectorial es: $$|\vec{AB} \times \vec{u}| = \sqrt{(b-a)^2 + 0^2 + (b-a)^2} = \sqrt{2(b-a)^2} = |b-a|\sqrt{2}$$ El módulo del vector director es: $$|\vec{u}| = \sqrt{a^2 + b^2 + (-a)^2} = \sqrt{2a^2 + b^2}$$

Igualamos la distancia a 1: $$\frac{|b-a|\sqrt{2}}{\sqrt{2a^2 + b^2}} = 1 \implies \frac{2(b-a)^2}{2a^2 + b^2} = 1$$ $$2(b^2 - 2ab + a^2) = 2a^2 + b^2 \implies 2b^2 - 4ab + 2a^2 = 2a^2 + b^2$$ $$b^2 - 4ab = 0 \implies b(b - 4a) = 0$$ Esto nos da dos posibles soluciones: 1. $b = 0$: Si tomamos $a = 1$, el vector es $\vec{u} = (1, 0, -1)$. 2. $b = 4a$: Si tomamos $a = 1$, el vector es $\vec{u} = (1, 4, -1)$. Tomaremos la primera solución por simplicidad: **$\vec{u} = (1, 0, -1)$**.

Usamos el vector $\vec{u} = (1, 0, -1)$ y los puntos $A(0,0,1)$ y $B(1,1,0)$: Recta $r_1$ (pasa por $A$): $$r_1: \begin{cases} x = \lambda \\ y = 0 \\ z = 1 - \lambda \end{cases}$$ Recta $r_2$ (pasa por $B$): $$r_2: \begin{cases} x = 1 + \mu \\ y = 1 \\ z = -\mu \end{cases}$$ (Nota: Si hubiéramos elegido el otro vector, las ecuaciones serían diferentes pero igualmente válidas). ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{r_1: \begin{cases} x = \lambda \\ y = 0 \\ z = 1 - \lambda \end{cases} \quad r_2: \begin{cases} x = 1 + \mu \\ y = 1 \\ z = -\mu \end{cases}}$$