Análisis de una función polinómica: tangentes, teoremas de Rolle y Bolzano, y cálculo de áreas

**a) (0.5 puntos) Calcular la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en $x = \pi$.** Para hallar la recta tangente en $x = \pi$, necesitamos el punto de tangencia $(\pi, f(\pi))$ y la pendiente $m = f'(\pi)$. 1. Calculamos el valor de la función en $x = \pi$: $$f(\pi) = \pi^4 + \pi(\pi^3) + \pi^2(\pi^2) + \pi^3(\pi) + \pi^4$$ $$f(\pi) = \pi^4 + \pi^4 + \pi^4 + \pi^4 + \pi^4 = 5\pi^4$$ 2. Hallamos la derivada general de $f(x)$: $$f'(x) = 4x^3 + 3\pi x^2 + 2\pi^2 x + \pi^3$$ 3. Calculamos la pendiente en $x = \pi$: $$f'(\pi) = 4\pi^3 + 3\pi(\pi^2) + 2\pi^2(\pi) + \pi^3$$ $$f'(\pi) = 4\pi^3 + 3\pi^3 + 2\pi^3 + \pi^3 = 10\pi^3$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la ecuación de la recta tangente en un punto $a$ es $y - f(a) = f'(a)(x - a)$.

Sustituimos los valores obtenidos ($a = \pi$, $f(\pi) = 5\pi^4$, $f'(\pi) = 10\pi^3$) en la fórmula de la recta tangente: $$y - 5\pi^4 = 10\pi^3(x - \pi)$$ $$y = 10\pi^3 x - 10\pi^4 + 5\pi^4$$ $$y = 10\pi^3 x - 5\pi^4$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = 10\pi^3 x - 5\pi^4}$$

**b) (1 punto) Probar que $f(x)$ tiene, al menos, un punto con derivada nula en el intervalo $(-\pi, 0)$ utilizando justificadamente el teorema de Rolle. Probar de nuevo la misma afirmación utilizando adecuadamente, esta vez, el teorema de Bolzano.** **Uso del Teorema de Rolle:** Para aplicar el Teorema de Rolle en $[-\pi, 0]$, deben cumplirse tres condiciones: 1. $f(x)$ es **continua** en $[-\pi, 0]$ por ser una función polinómica. 2. $f(x)$ es **derivable** en $(-\pi, 0)$ por la misma razón. 3. Los valores en los extremos deben ser iguales ($f(-\pi) = f(0)$). Calculamos $f(0)$: $$f(0) = 0^4 + \pi(0)^3 + \pi^2(0)^2 + \pi^3(0) + \pi^4 = \pi^4$$ Calculamos $f(-\pi)$: $$f(-\pi) = (-\pi)^4 + \pi(-\pi)^3 + \pi^2(-\pi)^2 + \pi^3(-\pi) + \pi^4$$ $$f(-\pi) = \pi^4 - \pi^4 + \pi^4 - \pi^4 + \pi^4 = \pi^4$$ Como $f(0) = f(-\pi) = \pi^4$, el Teorema de Rolle asegura que existe al menos un $c \in (-\pi, 0)$ tal que **$f'(c) = 0$**.

**Uso del Teorema de Bolzano:** Para probar que la derivada se anula, aplicamos el Teorema de Bolzano a la función derivada $f'(x) = 4x^3 + 3\pi x^2 + 2\pi^2 x + \pi^3$ en el intervalo $[-\pi, 0]$: 1. $f'(x)$ es **continua** en $[-\pi, 0]$ (es un polinomio). 2. Evaluamos en los extremos: $$f'(0) = 4(0)^3 + 3\pi(0)^2 + 2\pi^2(0) + \pi^3 = \pi^3 > 0$$ $$f'(-\pi) = 4(-\pi)^3 + 3\pi(-\pi)^2 + 2\pi^2(-\pi) + \pi^3 = -4\pi^3 + 3\pi^3 - 2\pi^3 + \pi^3 = -2\pi^3 < 0$$ Como $f'(-\pi)$ es negativo y $f'(0)$ es positivo, por el Teorema de Bolzano existe al menos un $c \in (-\pi, 0)$ tal que **$f'(c) = 0$**. 💡 **Tip:** Bolzano dice que si una función continua cambia de signo en un intervalo, tiene al menos una raíz en dicho intervalo. Aquí la aplicamos a $f'(x)$ para demostrar que tiene un cero.

**c) (1 punto) Si $g(x) = f(-x)$, calcular el área entre las gráficas de $f(x)$ y $g(x)$ en el intervalo $[0, \pi]$.** Primero definimos $g(x) = f(-x)$: $$g(x) = (-x)^4 + \pi(-x)^3 + \pi^2(-x)^2 + \pi^3(-x) + \pi^4$$ $$g(x) = x^4 - \pi x^3 + \pi^2 x^2 - \pi^3 x + \pi^4$$ Ahora calculamos la función diferencia $h(x) = f(x) - g(x)$: $$h(x) = (x^4 + \pi x^3 + \pi^2 x^2 + \pi^3 x + \pi^4) - (x^4 - \pi x^3 + \pi^2 x^2 - \pi^3 x + \pi^4)$$ $$h(x) = 2\pi x^3 + 2\pi^3 x$$ En el intervalo $[0, \pi]$, $x \ge 0$, por lo que $2\pi x^3 + 2\pi^3 x$ es siempre mayor o igual a cero. Por tanto, $f(x) \ge g(x)$ en este intervalo.

El área es la integral de la diferencia en el intervalo dado: $$A = \int_{0}^{\pi} (f(x) - g(x)) \, dx = \int_{0}^{\pi} (2\pi x^3 + 2\pi^3 x) \, dx$$ Calculamos la primitiva: $$\int (2\pi x^3 + 2\pi^3 x) \, dx = 2\pi \frac{x^4}{4} + 2\pi^3 \frac{x^2}{2} = \frac{\pi x^4}{2} + \pi^3 x^2$$ Aplicamos la Regla de Barrow: $$A = \left[ \frac{\pi x^4}{2} + \pi^3 x^2 \right]_{0}^{\pi} = \left( \frac{\pi(\pi)^4}{2} + \pi^3(\pi)^2 \right) - (0)$$ $$A = \frac{\pi^5}{2} + \pi^5 = \frac{\pi^5 + 2\pi^5}{2} = \frac{3\pi^5}{2}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{3\pi^5}{2} \text{ u}^2}$$