Problema de sistemas: Longitud de listones de madera

Para resolver el problema, empezamos definiendo las variables que representan las longitudes (en cm) de cada tipo de listón: - $x$: longitud del listón **largo**. - $y$: longitud del listón **intermedio**. - $z$: longitud del listón **corto**. A continuación, traducimos el enunciado a ecuaciones algebraicas: 1. "Tanto con dos listones largos y cuatro intermedios como con tres intermedios y quince cortos se consigue la misma longitud total": $$2x + 4y = 3y + 15z \implies 2x + y - 15z = 0$$ 2. "Un listón largo supera en 17 cm la medida de uno intermedio más uno corto": $$x = y + z + 17 \implies x - y - z = 17$$ 3. "Con nueve listones cortos hemos de añadir 7 cm para igualar la longitud de uno intermedio seguido por uno largo": $$9z + 7 = y + x \implies x + y - 9z = 7$$ 💡 **Tip:** En problemas de lenguaje natural, identifica los verbos como el signo de igualdad ($=$) y las conjunciones como sumas o comparaciones.

El sistema de ecuaciones lineales resultante es: $$\begin{cases} 2x + y - 15z = 0 \\ x - y - z = 17 \\ x + y - 9z = 7 \end{cases}$$ Para resolverlo de forma eficiente, utilizaremos el **método de Gauss**, escribiendo el sistema en forma de matriz ampliada: $$\left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -15 & 0 \\ 1 & -1 & -1 & 17 \\ 1 & 1 & -9 & 7 \end{array}\right)$$ 💡 **Tip:** Si una fila tiene un $1$ en la primera columna, es recomendable colocarla en la primera posición para facilitar los cálculos.

Intercambiamos la primera y segunda fila ($F_1 \leftrightarrow F_2$): $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & -1 & 17 \\ 2 & 1 & -15 & 0 \\ 1 & 1 & -9 & 7 \end{array}\right)$$ Realizamos operaciones elementales para hacer ceros en la primera columna: - $F_2 \to F_2 - 2F_1$ - $F_3 \to F_3 - F_1$ $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & -1 & 17 \\ 0 & 3 & -13 & -34 \\ 0 & 2 & -8 & -10 \end{array}\right)$$ Simplificamos la tercera fila dividiéndola por $2$ ($F_3 \to F_3 / 2$): $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & -1 & 17 \\ 0 & 3 & -13 & -34 \\ 0 & 1 & -4 & -5 \end{array}\right)$$ Intercambiamos $F_2$ y $F_3$ para facilitar el siguiente cero ($F_2 \leftrightarrow F_3$): $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & -1 & 17 \\ 0 & 1 & -4 & -5 \\ 0 & 3 & -13 & -34 \end{array}\right)$$ Finalmente, hacemos cero en la segunda columna de la tercera fila ($F_3 \to F_3 - 3F_2$): $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & -1 & 17 \\ 0 & 1 & -4 & -5 \\ 0 & 0 & -1 & -19 \end{array}\right)$$ El sistema escalonado equivalente es: $$\begin{cases} x - y - z = 17 \\ y - 4z = -5 \\ -z = -19 \end{cases}$$

Ahora resolvemos de abajo hacia arriba: 1. De la tercera ecuación: $$-z = -19 \implies \mathbf{z = 19 \text{ cm}}$$ 2. Sustituimos $z$ en la segunda ecuación: $$y - 4(19) = -5 \implies y - 76 = -5 \implies y = 76 - 5 \implies \mathbf{y = 71 \text{ cm}}$$ 3. Sustituimos $y$ y $z$ en la primera ecuación: $$x - 71 - 19 = 17 \implies x - 90 = 17 \implies x = 90 + 17 \implies \mathbf{x = 107 \text{ cm}}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Largo: } 107 \text{ cm}, \text{ Intermedio: } 71 \text{ cm}, \text{ Corto: } 19 \text{ cm}}$$ Podemos comprobar que los resultados cumplen el enunciado: - Primera condición: $2(107) + 4(71) = 498$ y $3(71) + 15(19) = 498$. (Correcto) - Segunda condición: $107 = 71 + 19 + 17 = 107$. (Correcto) - Tercera condición: $9(19) + 7 = 171 + 7 = 178$ y $71 + 107 = 178$. (Correcto)