Distribución Normal: Cálculo de Probabilidades y Parámetros

**a) [0,5] ¿Cuál es el porcentaje de estudiantes con CI entre 102,5 y 115?** Sea $X$ la variable aleatoria que representa el CI de los estudiantes, donde $X \sim N(\mu, \sigma)$. El enunciado nos proporciona los siguientes datos en términos de probabilidad: - $P(X \gt 115) = 6,68\% = 0,0668$ - $P(X \lt 102,5) = 59,87\% = 0,5987$ Queremos calcular la probabilidad de que el CI esté entre 102,5 y 115, es decir, $P(102,5 \le X \le 115)$. Por las propiedades de la probabilidad: $$P(102,5 \le X \le 115) = P(X \le 115) - P(X \lt 102,5)$$ Calculamos primero $P(X \le 115)$ usando el suceso contrario: $$P(X \le 115) = 1 - P(X \gt 115) = 1 - 0,0668 = 0,9332$$ Ahora sustituimos: $$P(102,5 \le X \le 115) = 0,9332 - 0,5987 = 0,3345$$ Convertimos a porcentaje multiplicando por 100. 💡 **Tip:** Recuerda que para cualquier intervalo $[a, b]$, la probabilidad se calcula como $P(X \le b) - P(X \le a)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{33,45\%}$$

**b) [1] Si se eligen al azar 6 estudiantes, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 5 de ellos tengan un CI menor que 115?** Estamos ante un experimento de Bernoulli (éxito o fracaso) que se repite $n=6$ veces. Definimos la variable $Y$ como el número de estudiantes con CI menor que 115. - Éxito: El estudiante tiene un CI menor que 115. - Probabilidad de éxito ($p$): Según el apartado anterior, $P(X \lt 115) = 0,9332$. - Número de ensayos ($n$): $6$. Por tanto, $Y \sim B(6; \, 0,9332)$. Se nos pide la probabilidad de que "al menos 5" tengan esa característica: $$P(Y \ge 5) = P(Y = 5) + P(Y = 6)$$ 💡 **Tip:** La fórmula de la probabilidad binomial es $P(Y = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$, donde $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Calculamos cada término individualmente: Para $k=5$: $$P(Y=5) = \binom{6}{5} (0,9332)^5 (1-0,9332)^{6-5} = 6 \cdot 0,7042 \cdot 0,0668 = 0,2822$$ Para $k=6$: $$P(Y=6) = \binom{6}{6} (0,9332)^6 (1-0,9332)^{6-6} = 1 \cdot 0,6571 \cdot 1 = 0,6571$$ Sumamos ambos resultados: $$P(Y \ge 5) = 0,2822 + 0,6571 = 0,9393$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{0,9393}$$

**c) [1] Calcule la media y la desviación típica de esta distribución.** Para hallar $\mu$ y $\sigma$, tipificamos la variable $X$ usando $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$, donde $Z \sim N(0, 1)$. 1. Para $P(X \gt 115) = 0,0668$: $$P\left(Z \gt \frac{115 - \mu}{\sigma}\right) = 0,0668 \implies P\left(Z \le \frac{115 - \mu}{\sigma}\right) = 1 - 0,0668 = 0,9332$$ Buscando $0,9332$ en el interior de la tabla $N(0,1)$, obtenemos el valor crítico $z_1 = 1,5$. $$\frac{115 - \mu}{\sigma} = 1,5 \implies 115 - \mu = 1,5\sigma \quad \text{(Ecuación 1)}$$ 2. Para $P(X \lt 102,5) = 0,5987$: $$P\left(Z \lt \frac{102,5 - \mu}{\sigma}\right) = 0,5987$$ Buscando $0,5987$ en la tabla $N(0,1)$, obtenemos el valor crítico $z_2 = 0,25$. $$\frac{102,5 - \mu}{\sigma} = 0,25 \implies 102,5 - \mu = 0,25\sigma \quad \text{(Ecuación 2)}$$ 💡 **Tip:** Si la probabilidad es mayor que 0,5, el valor de $z$ es positivo. Si es menor que 0,5, el valor de $z$ es negativo (usando simetría).

Resolvemos el sistema por el método de resta: $$\begin{cases} 115 - \mu = 1,5\sigma \\ 102,5 - \mu = 0,25\sigma \end{cases}$$ Restando la segunda ecuación a la primera: $$(115 - 102,5) - (\mu - \mu) = (1,5 - 0,25)\sigma$$ $$12,5 = 1,25\sigma \implies \sigma = \frac{12,5}{1,25} = 10$$ Sustituimos $\sigma = 10$ en la segunda ecuación para hallar $\mu$: $$102,5 - \mu = 0,25(10)$$ $$102,5 - \mu = 2,5 \implies \mu = 102,5 - 2,5 = 100$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\mu = 100, \quad \sigma = 10}$$