Probabilidad con los dados de Efron

**a) [0,5] Si Ana juega contra Bea, ¿cuál es la probabilidad de que gane Ana?** Primero, definimos las distribuciones de probabilidad de los resultados de los dados de Ana ($A$) y Bea ($B$): - Dado A: Tiene cuatro 4s y dos 0s. $P(A=4) = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$ $P(A=0) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$ - Dado B: Todas sus caras son 3. $P(B=3) = 1$ Ana gana si su puntuación es mayor que la de Bea ($A \gt B$). Como Bea siempre saca un 3, Ana solo gana si saca un 4. $$P(Gana\, Ana) = P(A \gt B) = P(A=4) = \dfrac{2}{3}$$ 💡 **Tip:** En un juego uno contra uno, si los resultados son independientes, la probabilidad se calcula sumando las probabilidades de los sucesos elementales que cumplen la condición. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P = \dfrac{2}{3} \approx 0.6667}$$

**b) [0,75] Si Ana juega contra Bea 8 veces, ¿cuál es la probabilidad de que Bea gane al menos 3 veces?** Estamos ante una distribución binomial donde cada partida es un experimento de Bernoulli independiente. Sea $X$ el número de veces que gana Bea en $n=8$ partidas. La probabilidad de que Bea gane una partida individual es: $$p = P(Gana\, Bea) = 1 - P(Gana\, Ana) = 1 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}$$ Entonces, $X \sim B\left(8, \dfrac{1}{3}\right)$. Se nos pide $P(X \ge 3)$. Utilizamos el suceso contrario para facilitar el cálculo: $$P(X \ge 3) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$$ Calculamos cada probabilidad usando la fórmula $P(X=k) = \displaystyle\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$: - $P(X=0) = \binom{8}{0} \left(\frac{1}{3}\right)^0 \left(\frac{2}{3}\right)^8 = 1 \cdot 1 \cdot \frac{256}{6561} = \frac{256}{6561}$ - $P(X=1) = \binom{8}{1} \left(\frac{1}{3}\right)^1 \left(\frac{2}{3}\right)^7 = 8 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{128}{2187} = \frac{1024}{6561}$ - $P(X=2) = \binom{8}{2} \left(\frac{1}{3}\right)^2 \left(\frac{2}{3}\right)^6 = 28 \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{64}{729} = \frac{1792}{6561}$ Sumamos: $$P(X \lt 3) = \frac{256 + 1024 + 1792}{6561} = \frac{3072}{6561} = \frac{1024}{2187}$$ Finalmente: $$P(X \ge 3) = 1 - \frac{1024}{2187} = \frac{1163}{2187}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. Para $n=8$, los valores son $\binom{8}{0}=1, \binom{8}{1}=8, \binom{8}{2}=28$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P = \dfrac{1163}{2187} \approx 0.5318}$$

**c) [0,5] Si Ana juega contra Ceci, ¿cuál es la probabilidad de que gane Ceci?** Analizamos las puntuaciones de Ceci ($C$): - Dado C: Cuatro 2s y dos 6s. $P(C=2) = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$ $P(C=6) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$ Creamos una tabla de contingencia con los posibles resultados de Ana ($A$) y Ceci ($C$): $$\begin{array}{c|c|c} A \setminus C & C=2 \, (2/3) & C=6 \, (1/3) \\ \hline A=0 \, (1/3) & (0,2) \to \text{Gana C} & (0,6) \to \text{Gana C} \\ \hline A=4 \, (2/3) & (4,2) \to \text{Gana A} & (4,6) \to \text{Gana C} \end{array}$$ Calculamos la probabilidad de que gane Ceci sumando los casos favorables: - $P(A=0 \cap C=2) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{9}$ - $P(A=0 \cap C=6) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$ - $P(A=4 \cap C=6) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$ $$P(Gana\, Ceci) = \dfrac{2}{9} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{2}{9} = \dfrac{5}{9}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P = \dfrac{5}{9} \approx 0.5556}$$

**d) [0,75] Si juegan todos contra todos, ¿cuál es la probabilidad de que Ana ni gane ni pierda?** Para que Ana ni gane ni pierda, su puntuación $A$ no debe ser ni la máxima ni la mínima de los cuatro jugadores ($A, B, C, D$). Las puntuaciones posibles son todas distintas entre sí en cada lanzamiento individual, por lo que no hay empates. Analizamos según lo que saque Ana: 1. **Si Ana saca $A=0$ (Prob = $1/3$):** Las puntuaciones de los otros son $B=3, C \in \{2,6\}, D \in \{1,5\}$. Todas son mayores que 0. Por tanto, Ana siempre saca la menor puntuación. En este caso, **Ana pierde siempre**. 2. **Si Ana saca $A=4$ (Prob = $2/3$):** Como $B=3$ siempre, Ana ya sabemos que **no pierde**, porque $A=4 \gt B=3$. Para que Ana ni gane ni pierda, simplemente **no debe ganar**. Ana gana si $A=4$ es la puntuación máxima, es decir, si $C \lt 4$ y $D \lt 4$: - $P(C \lt 4) = P(C=2) = \dfrac{2}{3}$ - $P(D \lt 4) = P(D=1) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ Probabilidad de ganar siendo $A=4$: $P(Gana | A=4) = P(C=2) \cdot P(D=1) = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3}$ Probabilidad de ni ganar ni perder siendo $A=4$ (es decir, no ser el máximo): $P(Ni\, gana\, ni\, pierde | A=4) = 1 - P(Gana | A=4) = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$ Calculamos la probabilidad total: $$P = P(A=0) \cdot 0 + P(A=4) \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3} \cdot 0 + \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{9}$$ 💡 **Tip:** En el caso $A=4$, Ana nunca es la mínima porque $B=3$. Por tanto, la condición "ni gana ni pierde" se reduce a "no ganar". ✅ **Resultado:** $$\boxed{P = \dfrac{4}{9} \approx 0.4444}$$