Geometría en el espacio: paralelismo, distancias y planos perpendiculares

**a) [1] Compruebe que el plano $\pi$ y la recta $r$ son paralelos.** Primero, identificamos los elementos que definen a la recta y al plano a partir de sus ecuaciones: - El plano $\pi$ tiene ecuación general $x + y + z + 1 = 0$. Su vector normal es: $$\vec{n_\pi} = (1, 1, 1)$$ - La recta $r$ está expresada en su forma continua: $\frac{x}{1} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z}{0}$. De aquí extraemos un punto $P_r$ por el que pasa y su vector director $\vec{v_r}$: $$P_r = (0, 1, 0), \quad \vec{v_r} = (1, -1, 0)$$ 💡 **Tip:** En la ecuación continua $\frac{x-x_0}{u_x} = \frac{y-y_0}{u_y} = \frac{z-z_0}{u_z}$, el punto es $(x_0, y_0, z_0)$ y el vector es $(u_x, u_y, u_z)$.

Para que una recta y un plano sean paralelos, su vector director $\vec{v_r}$ y el vector normal del plano $\vec{n_\pi}$ deben ser perpendiculares. Esto ocurre si su producto escalar es cero: $$\vec{v_r} \cdot \vec{n_\pi} = (1, -1, 0) \cdot (1, 1, 1) = 1(1) + (-1)(1) + 0(1) = 1 - 1 + 0 = 0$$ Como el producto escalar es **0**, la recta es paralela al plano o está contenida en él. Para descartar que esté contenida, comprobamos si el punto $P_r(0, 1, 0)$ pertenece al plano $\pi$: $$0 + 1 + 0 = 1 \neq -1$$ Como el punto no satisface la ecuación del plano, la recta no está contenida en él. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La recta } r \text{ y el plano } \pi \text{ son paralelos}}$$

**b) [0,5] Calcule la distancia de la recta $r$ al plano $\pi$.** Dado que la recta y el plano son paralelos, la distancia de la recta al plano es igual a la distancia de cualquier punto de la recta al plano. Usaremos el punto $P_r(0, 1, 0)$ y la ecuación del plano $\pi: x + y + z + 1 = 0$. La fórmula de la distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $Ax + By + Cz + D = 0$ es: $$d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Sustituimos los valores: $$d(r, \pi) = d(P_r, \pi) = \frac{|1(0) + 1(1) + 1(0) + 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{|2|}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$$ Racionalizamos el resultado multiplicando numerador y denominador por $\sqrt{3}$: $$d(r, \pi) = \frac{2\sqrt{3}}{3} \text{ unidades}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(r, \pi) = \frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1.155}$$

**c) [1] Calcule la ecuación general (o implícita) del plano que contiene a la recta $r$ y es perpendicular al plano $\pi$.** Llamemos $\alpha$ al plano que queremos hallar. Para definir un plano necesitamos un punto y dos vectores directores (o un vector normal): 1. Como el plano $\alpha$ contiene a la recta $r$, debe pasar por el punto $P_r(0, 1, 0)$ y tener como vector director al vector de la recta: $\vec{v_r} = (1, -1, 0)$. 2. Como el plano $\alpha$ es perpendicular al plano $\pi$, el vector normal de $\pi$, $\vec{n_\pi} = (1, 1, 1)$, debe ser paralelo al plano $\alpha$ (es decir, funciona como segundo vector director de $\alpha$). Por tanto, los vectores directores de $\alpha$ son $\vec{u} = (1, -1, 0)$ y $\vec{v} = (1, 1, 1)$.

La ecuación del plano $\alpha$ se obtiene mediante el determinante formado por un punto genérico $X(x, y, z)$ y los elementos anteriores: $$\begin{vmatrix} x - 0 & y - 1 & z - 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$$ Resolvemos por la regla de Sarrus: $$x \cdot (-1) \cdot 1 + (y-1) \cdot 0 \cdot 1 + z \cdot 1 \cdot 1 - [z \cdot (-1) \cdot 1 + (y-1) \cdot 1 \cdot 1 + x \cdot 0 \cdot 1] = 0$$ $$-x + 0 + z - [-z + y - 1 + 0] = 0$$ $$-x + z + z - y + 1 = 0$$ $$-x - y + 2z + 1 = 0$$ Multiplicamos por $-1$ para simplificar la expresión: $$x + y - 2z - 1 = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{x + y - 2z - 1 = 0}$$