Cálculo de integral indefinida por partes y área de recinto

**a) [1,5] Calcule la siguiente integral indefinida $\int x^2 \operatorname{sen} x dx$.** Estamos ante una integral de un producto de una función polinómica ($x^2$) y una función trigonométrica ($\operatorname{sen} x$). El método más adecuado es la **integración por partes**. 💡 **Tip:** Recuerda la fórmula de integración por partes: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Una regla nemotécnica común para elegir $u$ es **ALPES** (Arcos, Logaritmos, Polinomios, Exponenciales, Senos/Cosenos). Elegimos las partes: - $u = x^2 \implies du = 2x \, dx$ - $dv = \operatorname{sen} x \, dx \implies v = \int \operatorname{sen} x \, dx = -\cos x$ Aplicamos la fórmula: $$\int x^2 \operatorname{sen} x \, dx = x^2(-\cos x) - \int (-\cos x)(2x) \, dx = -x^2 \cos x + 2 \int x \cos x \, dx$$

Para resolver la integral restante $\int x \cos x \, dx$, debemos aplicar de nuevo el método de integración por partes. Elegimos las nuevas partes: - $u = x \implies du = dx$ - $dv = \cos x \, dx \implies v = \operatorname{sen} x$ Aplicamos la fórmula a esta parte: $$\int x \cos x \, dx = x \operatorname{sen} x - \int \operatorname{sen} x \, dx$$ $$\int x \cos x \, dx = x \operatorname{sen} x - (-\cos x) = x \operatorname{sen} x + \cos x$$

Sustituimos el resultado obtenido en el Paso 2 en la expresión general del Paso 1: $$\int x^2 \operatorname{sen} x \, dx = -x^2 \cos x + 2(x \operatorname{sen} x + \cos x) + C$$ Operando y simplificando obtenemos la solución final de la integral indefinida: $$\boxed{\int x^2 \operatorname{sen} x \, dx = -x^2 \cos x + 2x \operatorname{sen} x + 2 \cos x + C}$$

**b) [1] Determine el área del recinto limitado por el eje OX, las rectas verticales $x = -\pi/2$ y $x = \pi/2$, y la gráfica de la función $f(x) = x^2 \operatorname{sen} x$.** Para calcular el área, primero estudiamos los puntos de corte de $f(x) = x^2 \operatorname{sen} x$ con el eje $OX$ ($y=0$) dentro del intervalo $[-\pi/2, \pi/2]$: - $x^2 \operatorname{sen} x = 0 \implies x = 0$ o $\operatorname{sen} x = 0$. En el intervalo dado, la única raíz es **$x = 0$**. Analizamos el signo de la función: - En el intervalo $(-\pi/2, 0)$: $x^2$ es positivo y $\operatorname{sen} x$ es negativo, por tanto $f(x) \lt 0$. - En el intervalo $(0, \pi/2)$: $x^2$ es positivo y $\operatorname{sen} x$ es positivo, por tanto $f(x) \gt 0$. 💡 **Tip:** El área siempre es positiva. Si la función cambia de signo en el intervalo, debemos dividir la integral en trozos y aplicar valor absoluto: $Area = \int_a^b |f(x)| \, dx$.

Debido a la simetría de la función (es una función impar: $f(-x) = (-x)^2 \operatorname{sen}(-x) = -x^2 \operatorname{sen} x = -f(x)$), el área en el lado izquierdo es igual al área en el lado derecho. $$Area = \left| \int_{-\pi/2}^{0} x^2 \operatorname{sen} x \, dx \right| + \left| \int_{0}^{\pi/2} x^2 \operatorname{sen} x \, dx \right| = 2 \int_{0}^{\pi/2} x^2 \operatorname{sen} x \, dx$$ Utilizamos la primitiva calculada en el apartado anterior: $F(x) = -x^2 \cos x + 2x \operatorname{sen} x + 2 \cos x$.

Aplicamos la Regla de Barrow en el intervalo $[0, \pi/2]$: Calculamos los valores en los extremos: - $F(\pi/2) = -(\pi/2)^2 \cos(\pi/2) + 2(\pi/2) \operatorname{sen}(\pi/2) + 2 \cos(\pi/2)$ Como $\cos(\pi/2) = 0$ y $\operatorname{sen}(\pi/2) = 1$: $F(\pi/2) = 0 + 2(\pi/2)(1) + 0 = \pi$ - $F(0) = -(0)^2 \cos(0) + 2(0) \operatorname{sen}(0) + 2 \cos(0)$ Como $\cos(0) = 1$ y $\operatorname{sen}(0) = 0$: $F(0) = 0 + 0 + 2(1) = 2$ La integral definida es: $$\int_{0}^{\pi/2} x^2 \operatorname{sen} x \, dx = F(\pi/2) - F(0) = \pi - 2$$ Multiplicamos por 2 para obtener el área total: $$Area = 2 \cdot (\pi - 2) = 2\pi - 4 \approx 2.28 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado (área):** $$\boxed{Area = 2\pi - 4 \text{ u}^2}$$