Cálculo de límites e indeterminaciones

**a) [1] $\lim_{x \to 0} \frac{\cos(3x) - \cos(2x)}{x^2}$.** Primero, evaluamos el límite sustituyendo $x=0$ para identificar el tipo de indeterminación: $$\lim_{x \to 0} \frac{\cos(3\cdot 0) - \cos(2\cdot 0)}{0^2} = \frac{\cos(0) - \cos(0)}{0} = \frac{1-1}{0} = \frac{0}{0}$$ Como tenemos una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$ y las funciones del numerador y denominador son derivables cerca de $x=0$, aplicamos la **Regla de L'Hôpital**, derivando el numerador y el denominador por separado: $$\lim_{x \to 0} \frac{\cos(3x) - \cos(2x)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-3\sin(3x) - (-2\sin(2x))}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{-3\sin(3x) + 2\sin(2x)}{2x}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $\cos(ax)$ es $-a\sin(ax)$ por la regla de la cadena.

Volvemos a evaluar el límite obtenido en el paso anterior: $$\lim_{x \to 0} \frac{-3\sin(3\cdot 0) + 2\sin(2\cdot 0)}{2\cdot 0} = \frac{0}{0}$$ Al persistir la indeterminación, aplicamos la Regla de L'Hôpital una segunda vez: $$\lim_{x \to 0} \frac{-3\sin(3x) + 2\sin(2x)}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{-3 \cdot 3\cos(3x) + 2 \cdot 2\cos(2x)}{2}$$ $$\lim_{x \to 0} \frac{-9\cos(3x) + 4\cos(2x)}{2}$$ Ahora evaluamos directamente sustituyendo $x=0$: $$\frac{-9\cos(0) + 4\cos(0)}{2} = \frac{-9(1) + 4(1)}{2} = \frac{-5}{2}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lim_{x \to 0} \frac{\cos(3x) - \cos(2x)}{x^2} = -\frac{5}{2}}$$

**b) [0,75] $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x+9} - \sqrt{x-9})$.** Al evaluar el límite cuando $x \to +\infty$, obtenemos una indeterminación del tipo $\infty - \infty$: $$\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x+9} - \sqrt{x-9}) = \infty - \infty$$ Para resolver este tipo de límites con raíces cuadradas, multiplicamos y dividimos por la **expresión conjugada**: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{(\sqrt{x+9} - \sqrt{x-9})(\sqrt{x+9} + \sqrt{x-9})}{\sqrt{x+9} + \sqrt{x-9}}$$ Aplicamos el producto notable $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ en el numerador: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{(x+9) - (x-9)}{\sqrt{x+9} + \sqrt{x-9}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x + 9 - x + 9}{\sqrt{x+9} + \sqrt{x-9}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{18}{\sqrt{x+9} + \sqrt{x-9}}$$ 💡 **Tip:** El uso del conjugado permite eliminar la resta de infinitos en el numerador y pasarla a una suma en el denominador, que es mucho más fácil de evaluar.

Analizamos el comportamiento de la fracción resultante cuando $x \to +\infty$: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{18}{\sqrt{x+9} + \sqrt{x-9}} = \frac{18}{\infty + \infty} = \frac{18}{\infty} = 0$$ El denominador crece sin cota mientras que el numerador permanece constante, por lo que el cociente tiende a cero. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x+9} - \sqrt{x-9}) = 0}$$

**c) [0,75] $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{\sqrt{x}}$.** Evaluamos el límite cuando $x \to +\infty$: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} = \frac{\infty}{\infty}$$ Nos encontramos ante una indeterminación del tipo $\frac{\infty}{\infty}$. Aplicamos la **Regla de L'Hôpital** derivando numerador y denominador: - Derivada del numerador: $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ - Derivada del denominador: $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ El límite se transforma en: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{2\sqrt{x}}}$$ Simplificamos la expresión algebraica antes de evaluar: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{2\sqrt{x}}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{\sqrt{x}}$$ 💡 **Tip:** Siempre simplifica la expresión resultante tras aplicar L'Hôpital antes de volver a evaluar.

Finalmente, calculamos el límite de la expresión simplificada: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{2}{\sqrt{x}} = \frac{2}{\infty} = 0$$ Esto confirma que el crecimiento de la función raíz cuadrada es mayor que el de la función logarítmica en el infinito. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} = 0}$$