Matrices de Hadamard de orden 2

**a) [1] Determine cuál de las siguientes matrices es de Hadamard: $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \text{ y } \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$** Para que una matriz sea de Hadamard, debe cumplir $A \cdot A^t = 2I$. Comprobamos la primera matriz $A_1 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$. Primero, hallamos su traspuesta intercambiando filas por columnas: $$A_1^t = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Ahora realizamos el producto $A_1 \cdot A_1^t$: $$A_1 \cdot A_1^t = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1)(1) + (1)(1) & (1)(-1) + (1)(1) \\ (-1)(1) + (1)(1) & (-1)(-1) + (1)(1) \end{pmatrix}$$ $$A_1 \cdot A_1^t = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 2I$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la traspuesta $A^t$ se obtiene convirtiendo las filas de $A$ en columnas.

Comprobamos ahora la segunda matriz $A_2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$. Su traspuesta es: $$A_2^t = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto $A_2 \cdot A_2^t$: $$A_2 \cdot A_2^t = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1)(1) + (1)(1) & (1)(-1) + (1)(-1) \\ (-1)(1) + (-1)(1) & (-1)(-1) + (-1)(-1) \end{pmatrix}$$ $$A_2 \cdot A_2^t = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} \neq 2I$$ Por tanto, la segunda matriz no cumple la condición. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La matriz de Hadamard es } \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}}$$

**b) [0,75] Si $A$ es una matriz de Hadamard cualquiera de orden 2, calcule razonadamente su determinante.** Partimos de la condición definitoria: $A \cdot A^t = 2I$. Aplicamos el determinante a ambos lados de la igualdad: $$|A \cdot A^t| = |2I|$$ Usamos las propiedades de los determinantes: 1. El determinante de un producto es el producto de los determinantes: $|A \cdot B| = |A| \cdot |B|$. 2. El determinante de una matriz traspuesta es igual al determinante de la matriz original: $|A^t| = |A|$. 3. Para una matriz de orden $n$, $|k \cdot M| = k^n \cdot |M|$. Como nuestra matriz es de orden 2, $|2I| = 2^2 \cdot |I| = 4 \cdot 1 = 4$. Sustituyendo estas propiedades: $$|A| \cdot |A^t| = 4 \implies |A| \cdot |A| = 4 \implies |A|^2 = 4$$ Calculamos la raíz cuadrada: $$|A| = \pm \sqrt{4} = \pm 2$$ 💡 **Tip:** No olvides que el determinante de una matriz identidad $I$ siempre es 1, y que al sacar un escalar fuera de un determinante de orden $n$, este sale elevado a la $n$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{|A| = 2 \text{ o } |A| = -2}$$

**c) [0,75] Justifique que toda matriz $A$ de Hadamard de orden 2 es regular (o invertible) y obtenga una expresión para su inversa en términos de $A^t$.** Una matriz cuadrada es regular (invertible) si y solo si su determinante es distinto de cero. En el apartado anterior hemos demostrado que para cualquier matriz de Hadamard de orden 2: $$|A| = \pm 2 \neq 0$$ Como el determinante nunca es nulo, **la matriz $A$ es siempre regular**. Para obtener la expresión de la inversa, volvemos a la definición: $$A \cdot A^t = 2I$$ Multiplicamos toda la ecuación por $\frac{1}{2}$: $$A \cdot \left( \frac{1}{2} A^t \right) = I$$ Por la definición de matriz inversa ($A \cdot A^{-1} = I$), identificamos que la expresión que multiplica a $A$ para dar la identidad es precisamente su inversa. 💡 **Tip:** Si logras escribir una expresión del tipo $A \cdot B = I$, entonces $B$ es automáticamente la inversa de $A$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{-1} = \frac{1}{2} A^t}$$