Sistemas de ecuaciones: Torneos de Carlitos Alcaraz

**1: [2,5] En los años 2022 y 2023, Carlitos Alcaraz ganó un total de 10 torneos de categorías Grand Slam, Masters 1000 y ATP 500, lo que le proporcionó un total de 10.000 puntos. El número de torneos ganados de categoría ATP 500 fue 1 más que la mitad de la suma del número de torneos ganados de las otras dos categorías.** En primer lugar, definimos las incógnitas del problema basándonos en lo que se nos pide calcular: - $x$: número de torneos de categoría **Grand Slam**. - $y$: número de torneos de categoría **Masters 1000**. - $z$: número de torneos de categoría **ATP 500**. A partir del enunciado, extraemos las tres ecuaciones: 1. **Total de torneos:** Ganó un total de 10 torneos: $$x + y + z = 10$$ 2. **Total de puntos:** Sumando los puntos de cada categoría (2000 por GS, 1000 por M1000 y 500 por ATP 500) obtenemos 10.000: $$2000x + 1000y + 500z = 10000$$ 3. **Relación entre torneos:** Los ATP 500 ($z$) fueron uno más que la mitad de la suma de los otros dos: $$z = \frac{x + y}{2} + 1$$ 💡 **Tip:** Siempre es recomendable simplificar las ecuaciones antes de resolver el sistema para evitar trabajar con números innecesariamente grandes.

Simplificamos la segunda y tercera ecuación para facilitar el cálculo: - Para la **ecuación (2)**, dividimos toda la expresión entre $500$: $$\frac{2000x}{500} + \frac{1000y}{500} + \frac{500z}{500} = \frac{10000}{500} \implies 4x + 2y + z = 20$$ - Para la **ecuación (3)**, multiplicamos por $2$ para eliminar el denominador y trasponemos términos: $$2z = x + y + 2 \implies x + y - 2z = -2$$ El sistema resultante es: $$\begin{cases} x + y + z = 10 & \text{(I)}\\ 4x + 2y + z = 20 & \text{(II)}\\ x + y - 2z = -2 & \text{(III)} \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Al ordenar un sistema, intenta dejar las variables en el mismo orden ($x, y, z$) y los términos independientes a la derecha del igual.

Observamos que las ecuaciones (I) y (III) son muy parecidas. Podemos restarlas para eliminar $x$ e $y$ directamente: Restamos la ecuación (III) a la ecuación (I): $$(x + y + z) - (x + y - 2z) = 10 - (-2)$$ $$x - x + y - y + z + 2z = 10 + 2$$ $$3z = 12$$ $$z = \frac{12}{3} = 4$$ Ya sabemos que Carlitos ganó **4 torneos de categoría ATP 500**. $$\boxed{z = 4}$$

Sustituimos $z = 4$ en las ecuaciones (I) y (II) simplificadas: Desde (I): $$x + y + 4 = 10 \implies x + y = 6 \quad \text{(IV)}$$ Desde (II): $$4x + 2y + 4 = 20 \implies 4x + 2y = 16$$ Dividiendo esta última entre $2$ para simplificar: $$2x + y = 8 \quad \text{(V)}$$ Ahora resolvemos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por el método de reducción restando (IV) a (V): $$(2x + y) - (x + y) = 8 - 6$$ $$x = 2$$ Finalmente, sustituimos $x=2$ en la ecuación (IV): $$2 + y = 6 \implies y = 4$$ 💡 **Tip:** El método de reducción es muy eficiente cuando el coeficiente de una de las variables es el mismo en dos ecuaciones.

Comprobamos que los valores obtenidos cumplen las condiciones del enunciado: - Total de torneos: $2 + 4 + 4 = 10$. (Correcto) - Puntos: $2(2000) + 4(1000) + 4(500) = 4000 + 4000 + 2000 = 10000$. (Correcto) - Relación ATP 500: $4 = \frac{2+4}{2} + 1 = 3 + 1 = 4$. (Correcto) Por tanto, el número de torneos ganados es: ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{matrix} \text{Grand Slam: } 2 \\ \text{Masters 1000: } 4 \\ \text{ATP 500: } 4 \end{matrix}}$$