Distribución Binomial y Aproximación a la Normal

**a) [0,5] ¿Qué distribución sigue la variable aleatoria que cuenta el número de microprocesadores defectuosos fabricados al día?** Definimos la variable aleatoria $X$ como el número de microprocesadores defectuosos fabricados en un día. En este experimento: - Tenemos un número fijo de ensayos o pruebas independientes, $n = 2500$. - En cada prueba hay solo dos resultados posibles: el microprocesador es defectuoso ("éxito") o no lo es ("fracaso"). - La probabilidad de éxito es constante para cada microprocesador: $p = 2\% = 0,02$. - La probabilidad de fracaso es $q = 1 - p = 0,98$. Por lo tanto, la variable $X$ sigue una **distribución Binomial**. 💡 **Tip:** Una distribución binomial $B(n, p)$ se utiliza cuando contamos el número de éxitos en $n$ experimentos independientes donde la probabilidad de éxito $p$ es fija. ✅ **Resultado:** $$\boxed{X \sim B(2500, \, 0,02)}$$

**b) [0,5] Calcule la media y la desviación típica de esta distribución.** Para una distribución binomial $B(n, p)$, las fórmulas de los parámetros estadísticos son: 1. **Media (esperanza matemática):** $$\mu = n \cdot p = 2500 \cdot 0,02 = 50.$$ 2. **Desviación típica:** $$\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{2500 \cdot 0,02 \cdot 0,98} = \sqrt{50 \cdot 0,98} = \sqrt{49} = 7.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $q = 1 - p$. La desviación típica mide la dispersión de los datos respecto a la media. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\mu = 50, \quad \sigma = 7}$$

**c) [0,75] ¿Cuál es la probabilidad de que en un día el número de microprocesadores defectuosos fabricados sea menor o igual que 57?** Calcular $P(X \le 57)$ con una binomial de $n=2500$ es computacionalmente difícil. Comprobamos si podemos aproximar por una distribución Normal: - $n \cdot p = 50 \gt 5$ - $n \cdot q = 2450 \gt 5$ Como se cumplen ambas condiciones, podemos aproximar $X$ por una variable normal $X'$: $$X \approx X' \sim N(\mu, \sigma) = N(50, 7).$$ Al pasar de una distribución discreta (Binomial) a una continua (Normal), aplicamos la **corrección de continuidad de Yates**: $$P(X \le 57) = P(X' \le 57,5).$$ 💡 **Tip:** Cuando calculamos $P(X \le k)$ en una aproximación, tomamos $P(X' \le k + 0,5)$ para incluir toda la barra de probabilidad del valor $k$.

Ahora tipificamos la variable para poder usar la tabla de la normal estándar $Z \sim N(0, 1)$: $$Z = \frac{X' - \mu}{\sigma} = \frac{57,5 - 50}{7} = \frac{7,5}{7} \approx 1,0714.$$ Buscamos en la tabla de la $N(0, 1)$ para $z = 1,07$: $$P(X' \le 57,5) = P(Z \le 1,0714).$$ Utilizando el valor de la tabla para $1,07$: $$P(Z \le 1,07) = 0,8577.$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \le 57) = 0,8577}$$

**d) [0,75] ¿Cuál es la probabilidad de que en un día el número de microprocesadores defectuosos fabricados sea exactamente 50?** Para calcular una probabilidad puntual $P(X = 50)$ usando la aproximación normal, aplicamos de nuevo la corrección de continuidad, evaluando el intervalo $[49,5, \, 50,5]$: $$P(X = 50) \approx P(49,5 \le X' \le 50,5).$$ Tipificamos ambos valores: $$Z_1 = \frac{49,5 - 50}{7} = -\frac{0,5}{7} \approx -0,0714.$$ $$Z_2 = \frac{50,5 - 50}{7} = \frac{0,5}{7} \approx 0,0714.$$ Calculamos la probabilidad: $$P(-0,0714 \le Z \le 0,0714) = P(Z \le 0,0714) - P(Z \le -0,0714).$$ Por simetría de la campana de Gauss: $$P(Z \le -0,0714) = 1 - P(Z \le 0,0714).$$ Entonces: $$P(X=50) = P(Z \le 0,0714) - [1 - P(Z \le 0,0714)] = 2 \cdot P(Z \le 0,0714) - 1.$$ Buscamos en la tabla para $z = 0,07$: $$P(Z \le 0,07) = 0,5279.$$ $$P(X=50) = 2 \cdot 0,5279 - 1 = 1,0558 - 1 = 0,0558.$$ 💡 **Tip:** En una distribución continua, la probabilidad en un punto exacto es cero, por eso es imprescindible usar el intervalo $(k-0,5, k+0,5)$ al aproximar una binomial. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X = 50) = 0,0558}$$