Probabilidad y consumo de pan

Para resolver el problema, primero definimos los sucesos principales a partir de los datos del enunciado: - $I$: El habitante consume pan integral. $P(I) = 0,60$. - $B$: El habitante consume pan blanco. $P(B) = 0,40$. - $I \cap B$: El habitante consume ambos tipos de pan. $P(I \cap B) = 0,20$. Podemos organizar esta información en una **tabla de contingencia** para facilitar los cálculos de los siguientes apartados: $$\begin{array}{c|cc|c} & B & \bar{B} & \text{Total} \\\hline I & 0,20 & 0,40 & 0,60 \\ \bar{I} & 0,20 & 0,20 & 0,40 \\\hline \text{Total} & 0,40 & 0,60 & 1,00 \end{array}$$ 💡 **Tip:** En los ejercicios de probabilidad con dos sucesos y sus intersecciones, construir una tabla de contingencia ayuda a visualizar rápidamente los complementarios y las intersecciones restantes.

**a) [0,5] ¿Son independientes los sucesos "consumir pan integral" y "consumir pan blanco"?** Dos sucesos $I$ y $B$ son independientes si y solo si se cumple la condición: $$P(I \cap B) = P(I) \cdot P(B)$$ Calculamos el producto de las probabilidades individuales: $$P(I) \cdot P(B) = 0,60 \cdot 0,40 = 0,24$$ Comparamos este resultado con el valor de la intersección dado en el enunciado: $$P(I \cap B) = 0,20$$ Como $0,20 \neq 0,24$, se concluye que los sucesos **no son independientes**. 💡 **Tip:** Si el producto de las probabilidades es igual a la intersección, el suceso de que ocurra uno no influye en la probabilidad del otro. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No son independientes}}$$

**b) [0,5] Sabiendo que un habitante consume pan integral, ¿cuál es la probabilidad de que consuma pan blanco?** Se nos pide la probabilidad condicionada $P(B|I)$. Aplicamos la definición de probabilidad condicionada: $$P(B|I) = \frac{P(B \cap I)}{P(I)}$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(B|I) = \frac{0,20}{0,60} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 0,3333$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(A|B)$ representa la probabilidad de que ocurra $A$ restringiendo nuestro universo total a los casos donde ocurre $B$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B|I) = \frac{1}{3} \approx 0,3333}$$

**c) [0,75] Calcule el porcentaje de la población que no consume ninguno de los dos tipos de pan.** Buscamos la probabilidad del suceso "no consume integral Y no consume blanco", es decir, $P(\bar{I} \cap \bar{B})$. Por las **Leyes de De Morgan**, sabemos que $\bar{I} \cap \bar{B} = \overline{I \cup B}$. Por lo tanto: $$P(\bar{I} \cap \bar{B}) = 1 - P(I \cup B)$$ Calculamos primero la unión $P(I \cup B)$: $$P(I \cup B) = P(I) + P(B) - P(I \cap B)$$ $$P(I \cup B) = 0,60 + 0,40 - 0,20 = 0,80$$ Ahora calculamos el complementario: $$P(\bar{I} \cap \bar{B}) = 1 - 0,80 = 0,20$$ Para dar el resultado en porcentaje: $$0,20 \cdot 100 = 20 \%$$ 💡 **Tip:** También podías observar este valor directamente en la celda de la tabla de contingencia donde se cruzan $\bar{I}$ y $\bar{B}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{20 \%}$$

**d) [0,75] Sabiendo que un habitante no consume pan integral, ¿cuál es la probabilidad de que consuma pan blanco?** Se nos pide $P(B | \bar{I})$. Aplicamos la fórmula de la probabilidad condicionada: $$P(B | \bar{I}) = \frac{P(B \cap \bar{I})}{P(\bar{I})}$$ Calculamos los términos necesarios: 1. $P(\bar{I}) = 1 - P(I) = 1 - 0,60 = 0,40$ 2. $P(B \cap \bar{I})$ es la probabilidad de consumir pan blanco pero no integral. $$P(B \cap \bar{I}) = P(B) - P(B \cap I) = 0,40 - 0,20 = 0,20$$ Sustituimos en la fórmula: $$P(B | \bar{I}) = \frac{0,20}{0,40} = 0,5$$ 💡 **Tip:** Al igual que en el apartado anterior, los valores $0,20$ (intersección) y $0,40$ (total de la fila/columna $\bar{I}$) se pueden extraer directamente de la tabla de contingencia del paso 1. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B | \bar{I}) = 0,5}$$