Intersección de planos, posición relativa y puntos equidistantes

**a) [0,75] Compruebe que ambos planos se cortan y calcule el ángulo que forman.** Sean los planos $\pi_1: x + y + z + 3 = 0$ y $\pi_2: x + y - z - 3 = 0$. Sus vectores normales son: $$\vec{n}_1 = (1, 1, 1), \quad \vec{n}_2 = (1, 1, -1)$$ Para comprobar si se cortan, verificamos si sus vectores normales son proporcionales: $$\frac{1}{1} = \frac{1}{1} \neq \frac{1}{-1}$$ Como los coeficientes de las variables no son proporcionales, los vectores normales no tienen la misma dirección. Por lo tanto, los planos no son paralelos ni coincidentes, lo que implica que **se cortan en una recta**. 💡 **Tip:** Dos planos se cortan si sus vectores normales son linealmente independientes (no proporcionales).

El ángulo $\alpha$ que forman dos planos es el ángulo agudo que forman sus vectores normales. Se calcula mediante la fórmula: $$\cos \alpha = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|}$$ Calculamos el producto escalar y los módulos: - $\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = (1)(1) + (1)(1) + (1)(-1) = 1 + 1 - 1 = 1$ - $|\vec{n}_1| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ - $|\vec{n}_2| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}$ Sustituimos en la fórmula: $$\cos \alpha = \frac{|1|}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{3}$$ Calculamos el ángulo: $$\alpha = \arccos\left(\frac{1}{3}\right) \approx 70,53^\circ$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\alpha = \arccos\left(\frac{1}{3}\right) \approx 70,53^\circ}$$

**b) [0,75] Estudie la posición relativa de la recta $r$ con el plano $x + y - z = 3$.** Extraemos los elementos de la recta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{1} = \frac{z}{3}$: - Punto de la recta: $P_r(1, -1, 0)$ - Vector director: $\vec{v}_r = (2, 1, 3)$ El plano es $\pi_2: x + y - z - 3 = 0$ con vector normal $\vec{n}_2 = (1, 1, -1)$. Estudiamos el producto escalar $\vec{v}_r \cdot \vec{n}_2$: $$\vec{v}_r \cdot \vec{n}_2 = (2)(1) + (1)(1) + (3)(-1) = 2 + 1 - 3 = 0$$ Como el producto escalar es cero, el vector director de la recta es perpendicular al normal del plano, lo que significa que **la recta es paralela al plano o está contenida en él**. Comprobamos si el punto $P_r(1, -1, 0)$ pertenece a $\pi_2$: $$1 + (-1) - 0 - 3 = -3 \neq 0$$ Como el punto no satisface la ecuación del plano, la recta no está contenida en él. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La recta } r \text{ es paralela al plano } \pi_2}$$

**c) [1] Determine los puntos de la recta $r$ que equidistan de ambos planos.** Expresamos un punto genérico $X$ de la recta $r$ en parámetros paramétricos $\lambda$: $$r: \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = -1 + \lambda \\ z = 3\lambda \end{cases} \implies X(1+2\lambda, -1+\lambda, 3\lambda)$$ La condición de equidistancia es $d(X, \pi_1) = d(X, \pi_2)$. Usamos la fórmula de distancia de un punto a un plano: $$d(X, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Para $\pi_1: x+y+z+3=0$: $$d(X, \pi_1) = \frac{|(1+2\lambda) + (-1+\lambda) + (3\lambda) + 3|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{|6\lambda + 3|}{\sqrt{3}}$$ Para $\pi_2: x+y-z-3=0$: $$d(X, \pi_2) = \frac{|(1+2\lambda) + (-1+\lambda) - (3\lambda) - 3|}{\sqrt{1^2+1^2+(-1)^2}} = \frac{|-3|}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}}$$ Igualamos ambas distancias: $$\frac{|6\lambda + 3|}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} \implies |6\lambda + 3| = 3$$ 💡 **Tip:** Una ecuación del tipo $|a| = b$ (con $b \gt 0$) tiene dos soluciones: $a = b$ y $a = -b$.

Resolvemos los dos casos posibles para $|6\lambda + 3| = 3$: **Caso 1:** $6\lambda + 3 = 3$ $$6\lambda = 0 \implies \lambda_1 = 0$$ Sustituimos en las paramétricas de $r$: $$Q_1 = (1 + 2(0), -1 + 0, 3(0)) = (1, -1, 0)$$ **Caso 2:** $6\lambda + 3 = -3$ $$6\lambda = -6 \implies \lambda_2 = -1$$ Sustituimos en las paramétricas de $r$: $$Q_2 = (1 + 2(-1), -1 + (-1), 3(-1)) = (-1, -2, -3)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{Q_1(1, -1, 0) \text{ y } Q_2(-1, -2, -3)}$$