Intersección de planos, paralelismo y equidistancia

**a) [0,75] Compruebe que ambos planos se cortan en una recta $r$ y calcule la ecuación continua de dicha recta.** Dos planos se cortan en una recta si sus vectores normales no son proporcionales. Extraemos los vectores normales de los planos $\pi_1: x - y + z = 0$ y $\pi_2: x + y - z = 2$: $$\vec{n}_1 = (1, -1, 1)$$ $$\vec{n}_2 = (1, 1, -1)$$ Comprobamos si son proporcionales: $$\frac{1}{1} \neq \frac{-1}{1} \neq \frac{1}{-1}$$ Como los vectores normales no son proporcionales, los planos no son paralelos ni coincidentes, por lo tanto, **se cortan en una recta $r$**. 💡 **Tip:** Si los vectores normales son linealmente independientes, el rango de la matriz de coeficientes es 2, lo que garantiza una recta como intersección.

El vector director de la recta $r$, $\vec{v}_r$, se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales de los planos: $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante por Sarrus: $$\vec{v}_r = \vec{i}((-1)(-1) - (1)(1)) - \vec{j}((1)(-1) - (1)(1)) + \vec{k}((1)(1) - (-1)(1))$$ $$\vec{v}_r = \vec{i}(1 - 1) - \vec{j}(-1 - 1) + \vec{k}(1 + 1) = (0, 2, 2)$$ Podemos simplificar el vector director dividiendo por 2: **$\vec{v}_r = (0, 1, 1)$**. 💡 **Tip:** Cualquier vector proporcional al resultado del producto vectorial es válido como vector director de la recta.

Para hallar un punto $A \in r$, resolvemos el sistema formado por las ecuaciones de los planos: $$\begin{cases} x - y + z = 0 \\ x + y - z = 2 \end{cases}$$ Si sumamos ambas ecuaciones: $$(x - y + z) + (x + y - z) = 0 + 2 \implies 2x = 2 \implies x = 1$$ Sustituyendo $x=1$ en la primera ecuación: $$1 - y + z = 0 \implies y - z = 1$$ Si fijamos $z = 0$, obtenemos $y = 1$. Por tanto, un punto de la recta es **$A(1, 1, 0)$**. La ecuación continua de la recta $r$ con punto $A(1, 1, 0)$ y vector $\vec{v}_r(0, 1, 1)$ es: $$\boxed{r: \begin{cases} x = 1 \\ \dfrac{y - 1}{1} = \dfrac{z}{1} \end{cases}}$$ *(Nota: Como la componente $x$ del vector es 0, la ecuación continua se expresa indicando el plano $x=1$ por separado)*.

**b) [1] Compruebe que el punto $P$ no está en ninguno de los dos planos y calcule la ecuación de la recta que pasa por $P$ y no corta a ninguno de los dos planos.** Sustituimos las coordenadas de $P(1, 2, 3)$ en las ecuaciones de los planos: Para $\pi_1: x - y + z = 0$: $$1 - 2 + 3 = 2 \neq 0 \implies P \notin \pi_1$$ Para $\pi_2: x + y - z = 2$: $$1 + 2 - 3 = 0 \neq 2 \implies P \notin \pi_2$$ Queda comprobado que **$P$ no pertenece a ninguno de los dos planos**.

Para que una recta $s$ no corte a ninguno de los dos planos, debe ser paralela a ambos. Esto ocurre si el vector director de la recta, $\vec{v}_s$, es perpendicular a ambos vectores normales $\vec{n}_1$ y $\vec{n}_2$. Esto significa que $\vec{v}_s$ debe tener la misma dirección que el vector director de la recta de intersección $r$ calculada anteriormente: $$\vec{v}_s = \vec{v}_r = (0, 1, 1)$$ Usando el punto $P(1, 2, 3)$, la recta $s$ en forma paramétrica es: $$\boxed{s: \begin{cases} x = 1 \\ y = 2 + \lambda \\ z = 3 + \lambda \end{cases}}$$ 💡 **Tip:** Una recta es paralela a un plano si su vector director es perpendicular al vector normal del plano. Al ser paralela a dos planos, su dirección es obligatoriamente la de la intersección de dichos planos.

**c) [0,75] Determine el punto de la recta $r$ que equidista de $P$ y de $Q$.** Expresamos un punto genérico $X$ de la recta $r$ usando sus ecuaciones paramétricas: $$X(1, 1 + \lambda, \lambda)$$ Queremos que la distancia de $X$ a $P(1, 2, 3)$ sea igual a la distancia de $X$ a $Q(1, 1, 3)$: $$d(X, P) = d(X, Q) \implies \sqrt{(1-1)^2 + (1+\lambda-2)^2 + (\lambda-3)^2} = \sqrt{(1-1)^2 + (1+\lambda-1)^2 + (\lambda-3)^2}$$ Elevamos al cuadrado ambos miembros y simplificamos: $$(1-1)^2 + (\lambda-1)^2 + (\lambda-3)^2 = (1-1)^2 + \lambda^2 + (\lambda-3)^2$$ $$0 + (\lambda-1)^2 + (\lambda-3)^2 = 0 + \lambda^2 + (\lambda-3)^2$$ Restamos $(\lambda-3)^2$ en ambos lados: $$(\lambda-1)^2 = \lambda^2$$ $$\lambda^2 - 2\lambda + 1 = \lambda^2$$ $$-2\lambda + 1 = 0 \implies \lambda = \frac{1}{2}$$ Sustituimos $\lambda = 1/2$ en el punto genérico $X$: $$x = 1$$ $$y = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$$ $$z = \frac{1}{2}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X\left(1, \frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right)}$$