Límite e integración de una función con logaritmos

**a) [0,5] Calcule $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.** Para calcular el límite de $f(x) = \frac{\ln x}{\sqrt{x}}$ cuando $x \to +\infty$, observamos la tendencia del numerador y el denominador: - $\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$ - $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty$ Se presenta una indeterminación del tipo $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$. Aplicamos la **regla de L'Hôpital**, derivando el numerador y el denominador de forma independiente: $$L = \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln x)'}{(\sqrt{x})'}$$ Calculamos las derivadas: - $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ - $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ Sustituimos y simplificamos: $$L = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{2\sqrt{x}}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2\sqrt{x}}{x}$$ Como $x = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}$, podemos simplificar la expresión: $$L = \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{\sqrt{x}} = \frac{2}{+\infty} = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la regla de L'Hôpital solo se aplica si hay una indeterminación $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} = 0}$$

**b) [1,5] Calcule la integral indefinida $\int f(x) dx$.** Para resolver $\int \frac{\ln x}{\sqrt{x}} dx$, utilizaremos el método de **integración por partes**. La fórmula es: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Elegimos las partes según la regla ALPES (Logarítmicas antes que Polinómicas/Raíces): - Sea $u = \ln x \implies du = \frac{1}{x} dx$ - Sea $dv = \frac{1}{\sqrt{x}} dx = x^{-1/2} dx \implies v = \int x^{-1/2} dx = \frac{x^{1/2}}{1/2} = 2\sqrt{x}$ Aplicamos la fórmula: $$\int \frac{\ln x}{\sqrt{x}} dx = (\ln x)(2\sqrt{x}) - \int 2\sqrt{x} \cdot \frac{1}{x} dx$$ Simplificamos la integral resultante: $$\int \frac{\ln x}{\sqrt{x}} dx = 2\sqrt{x} \ln x - \int 2 \cdot x^{1/2} \cdot x^{-1} dx = 2\sqrt{x} \ln x - 2 \int x^{-1/2} dx$$ Resolvemos la última integral: $$\int \frac{\ln x}{\sqrt{x}} dx = 2\sqrt{x} \ln x - 2(2\sqrt{x}) + C = 2\sqrt{x} \ln x - 4\sqrt{x} + C$$ Podemos factorizar $2\sqrt{x}$ para una expresión más elegante: 💡 **Tip:** Al integrar por partes, intenta que la nueva integral $\int v \, du$ sea más sencilla que la original. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\int \frac{\ln x}{\sqrt{x}} dx = 2\sqrt{x} (\ln x - 2) + C}$$

**c) [0,5] Determine el valor de $a > 0$ para el cual se cumple que $\int_{1}^{a} f(x) dx = 4$.** Utilizamos la primitiva obtenida en el apartado anterior, $F(x) = 2\sqrt{x}(\ln x - 2)$, y aplicamos la **Regla de Barrow**: $$\int_{1}^{a} f(x) dx = [2\sqrt{x}(\ln x - 2)]_{1}^{a} = 4$$ Evaluamos en los límites de integración: $$(2\sqrt{a}(\ln a - 2)) - (2\sqrt{1}(\ln 1 - 2)) = 4$$ Sabemos que $\ln 1 = 0$ y $\sqrt{1} = 1$: $$2\sqrt{a}(\ln a - 2) - 2(0 - 2) = 4$$ $$2\sqrt{a}(\ln a - 2) + 4 = 4$$ Restamos 4 en ambos lados: $$2\sqrt{a}(\ln a - 2) = 0$$ Como se nos indica que $a > 0$, entonces $2\sqrt{a} \neq 0$. Por tanto, la única posibilidad es que el paréntesis sea cero: $$\ln a - 2 = 0 \implies \ln a = 2$$ Aplicando la definición de logaritmo (exponencial): $$a = e^2$$ 💡 **Tip:** En una integral definida, si el resultado es cero y uno de los factores es siempre positivo, el otro factor debe ser necesariamente cero. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = e^2}$$