Estudio de límites, monotonía y extremos de una función racional

**a) [0,5] Calcule $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ y $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.** Para calcular los límites de una función racional cuando $x \to \pm\infty$, comparamos los grados de los polinomios del numerador y del denominador. En este caso, tanto el numerador $2x^2$ como el denominador $x^2 - 2x + 3$ son de grado 2. Por tanto, el límite es el cociente de los coeficientes principales: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2}{x^2 - 2x + 3} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2}{x^2} = 2$$ $$\lim_{x \to -\infty} \frac{2x^2}{x^2 - 2x + 3} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2x^2}{x^2} = 2$$ 💡 **Tip:** Si los grados son iguales, el límite es $\frac{a_n}{b_n}$. Si el grado del numerador es menor, el límite es 0. Si es mayor, es $\pm\infty$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lim_{x \to -\infty} f(x) = 2, \quad \lim_{x \to +\infty} f(x) = 2}$$

**b) [1,5] Determine los intervalos de crecimiento y/o decrecimiento de la función $f(x)$ y calcule sus extremos relativos (máximos y mínimos relativos).** Primero, calculamos la derivada $f'(x)$ utilizando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(2x^2)'(x^2 - 2x + 3) - (2x^2)(x^2 - 2x + 3)'}{(x^2 - 2x + 3)^2}$$ Calculamos las derivadas de cada parte: $$f'(x) = \frac{4x(x^2 - 2x + 3) - 2x^2(2x - 2)}{(x^2 - 2x + 3)^2}$$ $$f'(x) = \frac{4x^3 - 8x^2 + 12x - 4x^3 + 4x^2}{(x^2 - 2x + 3)^2}$$ $$f'(x) = \frac{-4x^2 + 12x}{(x^2 - 2x + 3)^2}$$ 💡 **Tip:** La regla del cociente es $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Para hallar los puntos críticos, igualamos la derivada a cero: $$f'(x) = 0 \implies -4x^2 + 12x = 0 \implies -4x(x - 3) = 0$$ Esto nos da dos posibles extremos relativos en: $$x_1 = 0, \quad x_2 = 3$$ Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por estos puntos. Notamos que el denominador $(x^2 - 2x + 3)^2$ siempre es positivo para todo $x \in \mathbb{R}$, por lo que el signo depende solo del numerador $-4x^2 + 12x$. $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, 3) & 3 & (3, +\infty) \\ \hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & - \\ \hline f(x) & \searrow & \min & \nearrow & \max & \searrow \end{array}$$ **Intervalos de monotonía:** - La función es **decreciente** en $(-\infty, 0) \cup (3, +\infty)$. - La función es **creciente** en $(0, 3)$.

Calculamos las ordenadas de los puntos críticos sustituyendo en $f(x)$: Para $x = 0$: $$f(0) = \frac{2(0)^2}{0^2 - 2(0) + 3} = 0$$ Tenemos un **mínimo relativo** en $(0, 0)$. Para $x = 3$: $$f(3) = \frac{2(3)^2}{3^2 - 2(3) + 3} = \frac{18}{9 - 6 + 3} = \frac{18}{6} = 3$$ Tenemos un **máximo relativo** en $(3, 3)$. ✅ **Resultado (Monotonía y Extremos):** $$\boxed{\text{Creciente: } (0, 3); \text{ Decreciente: } (-\infty, 0) \cup (3, +\infty)}$$ $$\boxed{\text{Mínimo relativo: } (0, 0); \text{ Máximo relativo: } (3, 3)}$$

**c) [0,5] Justifique que la función alcanza sus extremos absolutos (máximo y mínimo absolutos) y calcule el valor de dichos extremos absolutos.** Para justificar la existencia de extremos absolutos en todo $\mathbb{R}$, observamos: 1. La función $f(x)$ es **continua** en todo $\mathbb{R}$ porque el denominador $x^2 - 2x + 3$ no tiene raíces reales (su discriminante $\Delta = (-2)^2 - 4(1)(3) = -8 < 0$). 2. Hemos calculado que $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 2$. 3. El valor del mínimo relativo es $f(0) = 0$. 4. El valor del máximo relativo es $f(3) = 3$. Como la función tiende a $2$ en ambos infinitos, y tenemos valores por debajo de $2$ ($0 < 2$) y por encima de $2$ ($3 > 2$), los extremos relativos encontrados son obligatoriamente absolutos. - El **mínimo absoluto** es el valor más pequeño que toma la función: $0$. - El **máximo absoluto** es el valor más grande que toma la función: $3$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Mínimo absoluto: } 0 \text{ (en } x=0\text{)}; \quad \text{Máximo absoluto: } 3 \text{ (en } x=3\text{)}}$$