Matrices ortogonales y sus propiedades

**a) [1] Estudie si las siguientes matrices son ortogonales o no:** **$$\begin{pmatrix} \sqrt{3}/2 & 1/2 \\ -1/2 & \sqrt{3}/2 \end{pmatrix} \text{ y } \begin{pmatrix} \sqrt{3}/2 & 1/2 \\ -1/2 & -\sqrt{3}/2 \end{pmatrix}$$** Para comprobar si una matriz $M$ es ortogonal, debemos verificar si $M \cdot M^t = I$. Llamamos $M_1 = \begin{pmatrix} \sqrt{3}/2 & 1/2 \\ -1/2 & \sqrt{3}/2 \end{pmatrix}$. Su traspuesta es $M_1^t = \begin{pmatrix} \sqrt{3}/2 & -1/2 \\ 1/2 & \sqrt{3}/2 \end{pmatrix}$. Realizamos el producto $M_1 \cdot M_1^t$: $$M_1 \cdot M_1^t = \begin{pmatrix} \sqrt{3}/2 & 1/2 \\ -1/2 & \sqrt{3}/2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sqrt{3}/2 & -1/2 \\ 1/2 & \sqrt{3}/2 \end{pmatrix}$$ Calculamos cada elemento: - $c_{11} = (\sqrt{3}/2) \cdot (\sqrt{3}/2) + (1/2) \cdot (1/2) = 3/4 + 1/4 = 1$ - $c_{12} = (\sqrt{3}/2) \cdot (-1/2) + (1/2) \cdot (\sqrt{3}/2) = -\sqrt{3}/4 + \sqrt{3}/4 = 0$ - $c_{21} = (-1/2) \cdot (\sqrt{3}/2) + (\sqrt{3}/2) \cdot (1/2) = -\sqrt{3}/4 + \sqrt{3}/4 = 0$ - $c_{22} = (-1/2) \cdot (-1/2) + (\sqrt{3}/2) \cdot (\sqrt{3}/2) = 1/4 + 3/4 = 1$ Como $M_1 \cdot M_1^t = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I$, concluimos que la primera matriz es **ortogonal**. 💡 **Tip:** Recuerda que la traspuesta se obtiene intercambiando filas por columnas.

Llamamos $M_2 = \begin{pmatrix} \sqrt{3}/2 & 1/2 \\ -1/2 & -\sqrt{3}/2 \end{pmatrix}$. Su traspuesta es $M_2^t = \begin{pmatrix} \sqrt{3}/2 & -1/2 \\ 1/2 & -\sqrt{3}/2 \end{pmatrix}$. Realizamos el producto $M_2 \cdot M_2^t$: $$M_2 \cdot M_2^t = \begin{pmatrix} \sqrt{3}/2 & 1/2 \\ -1/2 & -\sqrt{3}/2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sqrt{3}/2 & -1/2 \\ 1/2 & -\sqrt{3}/2 \end{pmatrix}$$ Calculamos los elementos necesarios para verificar la identidad: - $c_{11} = (\sqrt{3}/2)^2 + (1/2)^2 = 3/4 + 1/4 = 1$ - $c_{12} = (\sqrt{3}/2) \cdot (-1/2) + (1/2) \cdot (-\sqrt{3}/2) = -\sqrt{3}/4 - \sqrt{3}/4 = -2\sqrt{3}/4 = -\sqrt{3}/2$ Como el elemento $c_{12} \neq 0$, el producto no es la matriz identidad $I$. ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{\text{La primera matriz es ortogonal y la segunda no lo es}}$$

**b) [0,75] Si $A$ es una matriz ortogonal cualquiera de orden 2, calcule razonadamente su determinante.** Partimos de la definición de matriz ortogonal: $A \cdot A^t = I$. Aplicamos la propiedad de los determinantes que dice que el determinante del producto es el producto de los determinantes: $$\det(A \cdot A^t) = \det(I)$$ $$\det(A) \cdot \det(A^t) = 1$$ Sabemos que el determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta, $\det(A) = \det(A^t)$. Por tanto: $$\det(A) \cdot \det(A) = 1 \implies [\det(A)]^2 = 1$$ Extrayendo la raíz cuadrada, obtenemos: $$\det(A) = \pm \sqrt{1} = \pm 1$$ 💡 **Tip:** Las propiedades clave aquí son $\det(A \cdot B) = \det(A) \cdot \det(B)$ y $\det(A) = \det(A^t)$. ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{\det(A) = 1 \text{ o } \det(A) = -1}$$

**c) [0,75] Justifique que si $A$ y $B$ son dos matrices ortogonales cualesquiera de orden 2, entonces el producto $C = A \cdot B$ también lo es.** Para que $C = A \cdot B$ sea ortogonal, debe cumplirse que $C \cdot C^t = I$. Vamos a comprobarlo utilizando las propiedades del producto y la traspuesta: 1. Sustituimos $C$: $$(A \cdot B) \cdot (A \cdot B)^t$$ 2. Aplicamos la propiedad de la traspuesta de un producto, $(A \cdot B)^t = B^t \cdot A^t$: $$(A \cdot B) \cdot (B^t \cdot A^t)$$ 3. Por la propiedad asociativa del producto de matrices: $$A \cdot (B \cdot B^t) \cdot A^t$$ 4. Como $B$ es ortogonal, sabemos que $B \cdot B^t = I$: $$A \cdot I \cdot A^t = A \cdot A^t$$ 5. Como $A$ es ortogonal, sabemos que $A \cdot A^t = I$: $$I$$ Como hemos llegado a que $C \cdot C^t = I$, queda justificado que el producto de matrices ortogonales es una matriz ortogonal. 💡 **Tip:** Recuerda que al trasponer un producto se invierte el orden de los factores: $(A B)^t = B^t A^t$. ✅ **Resultado (c):** $$\boxed{\text{Queda demostrado que } (AB)(AB)^t = I}$$