Sistema de ecuaciones: Seguidores de Taylor Swift

**Calcule cuántos seguidores tiene Taylor Swift en cada una de estas redes sociales.** En primer lugar, definimos las variables que representarán el número de seguidores (en millones) en cada red social: - $x$: Millones de seguidores en **Instagram**. - $y$: Millones de seguidores en **X** (antiguo Twitter). - $z$: Millones de seguidores en **YouTube**. 💡 **Tip:** Definir claramente qué representa cada incógnita es el primer paso fundamental para no cometer errores en el planteamiento de las ecuaciones.

Traducimos las condiciones del enunciado a lenguaje algebraico: 1. **Total de seguidores:** La suma de los seguidores en las tres redes es 435 millones. $$x + y + z = 435$$ 2. **Condición hipotética:** Si ganara en Instagram ($x$) la mitad de YouTube ($z/2$), tendría el doble que la suma de X ($y$) y YouTube ($z$). $$x + \frac{z}{2} = 2(y + z)$$ Multiplicamos por $2$ para eliminar el denominador: $$2x + z = 4(y + z) \implies 2x + z = 4y + 4z \implies 2x - 4y - 3z = 0$$ 3. **Ingresos mensuales:** $10\$$ por millón en IG, $20\$$ en X y $30\$$ en YouTube para un total de $6.500\$$. $$10x + 20y + 30z = 6.500$$ Simplificamos dividiendo entre $10$: $$x + 2y + 3z = 650$$ El sistema de ecuaciones resultante es: $$\begin{cases} x + y + z = 435 \\ 2x - 4y - 3z = 0 \\ x + 2y + 3z = 650 \end{cases}$$

Escribimos la matriz ampliada del sistema y aplicamos el método de Gauss para obtener una forma escalonada: $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 435 \\ 2 & -4 & -3 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & 650 \end{array}\right)$$ Realizamos las operaciones elementales por filas para hacer ceros en la primera columna: - $F_2 \leftarrow F_2 - 2F_1$ - $F_3 \leftarrow F_3 - F_1$ $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 435 \\ 0 & -6 & -5 & -870 \\ 0 & 1 & 2 & 215 \end{array}\right)$$ Intercambiamos $F_2$ y $F_3$ para facilitar los cálculos: $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 435 \\ 0 & 1 & 2 & 215 \\ 0 & -6 & -5 & -870 \end{array}\right)$$ Ahora, hacemos cero en la segunda columna usando la nueva $F_2$: - $F_3 \leftarrow F_3 + 6F_2$ $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 435 \\ 0 & 1 & 2 & 215 \\ 0 & 0 & 7 & 420 \end{array}\right)$$ 💡 **Tip:** Intercambiar filas para poner un $1$ como pivote ayuda a evitar trabajar con fracciones durante el proceso de eliminación.

A partir de la matriz escalonada, resolvemos de abajo hacia arriba: 1. De la tercera fila: $$7z = 420 \implies z = \frac{420}{7} \implies \mathbf{z = 60}$$ 2. Sustituimos $z$ en la segunda fila: $$y + 2(60) = 215 \implies y + 120 = 215 \implies y = 215 - 120 \implies \mathbf{y = 95}$$ 3. Sustituimos $y$ y $z$ en la primera fila: $$x + 95 + 60 = 435 \implies x + 155 = 435 \implies x = 435 - 155 \implies \mathbf{x = 280}$$ 💡 **Tip:** Siempre es recomendable realizar una comprobación rápida sustituyendo los valores obtenidos en las ecuaciones originales para asegurar que el resultado es correcto.

Interpretamos los resultados en el contexto del problema: - Instagram: **280 millones de seguidores**. - X (Twitter): **95 millones de seguidores**. - YouTube: **60 millones de seguidores**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{aligned} &\text{Instagram: 280 millones} \\ &\text{X: 95 millones} \\ &\text{YouTube: 60 millones} \end{aligned}}$$