Distribución normal de la duración de embarazos

**(a) [4 puntos] ¿Qué proporción de todos los embarazos durará entre 240 y 270 días (aproximadamente entre 8 y 9 meses)?** Primero, definimos la variable aleatoria $X$ que representa la duración del embarazo en días. Según el enunciado, $X$ sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu, \sigma) \implies X \sim N(266, 16)$$ Donde: - Media $\mu = 266$ días. - Desviación típica $\sigma = 16$ días. Queremos calcular la probabilidad (o proporción) de que $X$ esté comprendido entre $240$ y $270$ días: $$P(240 \le X \le 270)$$ 💡 **Tip:** En una distribución normal $N(\mu, \sigma)$, para calcular probabilidades debemos tipificar la variable para pasar a una $Z \sim N(0, 1)$ usando la fórmula $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$.

Tipificamos los valores de los extremos del intervalo: Para $x = 240$: $z_1 = \dfrac{240 - 266}{16} = \dfrac{-26}{16} = -1.625$ Para $x = 270$: $z_2 = \dfrac{270 - 266}{16} = \dfrac{4}{16} = 0.25$ Ahora la probabilidad se expresa en términos de la normal estándar $Z$: $$P(-1.625 \le Z \le 0.25) = p(Z \le 0.25) - p(Z \le -1.625)$$ Utilizamos las propiedades de simetría de la normal para el valor negativo: $$p(Z \le -1.625) = 1 - p(Z \le 1.625)$$ Sustituyendo: $$P(240 \le X \le 270) = p(Z \le 0.25) - [1 - p(Z \le 1.625)]$$ Buscamos los valores en la tabla de la normal $N(0, 1)$: - $p(Z \le 0.25) = 0.5987$ - $p(Z \le 1.625) \approx 0.9479$ (interpolando entre $1.62$ y $1.63$) Calculamos el resultado final: $$P = 0.5987 - (1 - 0.9479) = 0.5987 - 0.0521 = 0.5466$$ ✅ **Resultado (proporción):** $$\boxed{0.5466 \text{ (o } 54.66\%)}$$

**(b) [6 puntos] Si nos fijamos en el 70% de los embarazos que más duran, ¿cuál es su duración?** Buscamos un valor de duración $d$ tal que el $70\%$ de los embarazos sean mayores o iguales a $d$. Es decir: $$P(X \ge d) = 0.70$$ Esto es equivalente a decir que el $30\%$ de los embarazos duran menos que $d$: $$P(X \le d) = 0.30$$ Tipificamos la variable $X$ para encontrar el valor correspondiente en la normal estándar $Z$: $$P\left(Z \le \frac{d - 266}{16}\right) = 0.30$$ Llamemos $z_0 = \dfrac{d - 266}{16}$. Tenemos que buscar $z_0$ tal que $p(Z \le z_0) = 0.30$. 💡 **Tip:** Como $0.30 \lt 0.5$, sabemos que $z_0$ será un valor negativo. Buscamos en la tabla el valor positivo cuya probabilidad acumulada sea $1 - 0.30 = 0.70$ y le cambiamos el signo.

Buscamos en la tabla de la normal $N(0, 1)$ el valor de $z$ para una probabilidad de $0.70$: $$p(Z \le 0.524) \approx 0.70$$ Por simetría: $$z_0 = -0.524$$ Ahora igualamos a nuestra expresión tipificada para despejar $d$: $$-0.524 = \frac{d - 266}{16}$$ $$d - 266 = -0.524 \cdot 16$$ $$d - 266 = -8.384$$ $$d = 266 - 8.384 = 257.616$$ Por tanto, el $70\%$ de los embarazos que más duran son aquellos que duran al menos $257.62$ días aproximadamente. ✅ **Resultado (duración):** $$\boxed{d \ge 257.62 \text{ días}}$$