Cálculo de probabilidades y sucesos independientes

**(a) [3 puntos] $P(A)$.** Para calcular la probabilidad de $A$, utilizamos la propiedad que indica que un suceso es la unión de sus intersecciones con otro suceso y su complementario. Es decir: $$P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap B^c)$$ Sustituimos los valores dados en el enunciado: - $P(A \cap B) = 0.1$ - $P(A \cap B^c) = 0.35$ $$P(A) = 0.1 + 0.35 = 0.45$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $A = (A \cap B) \cup (A \cap B^c)$ y como estos sucesos son incompatibles, sus probabilidades se suman. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A) = 0.45}$$

Para facilitar la resolución de los siguientes apartados, organizamos la información en una tabla de contingencia. Sabemos que: 1. $P(A) = 0.45 \implies P(A^c) = 1 - 0.45 = 0.55$ 2. $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \implies 0.7 = 0.45 + P(B) - 0.1 \implies P(B) = 0.35$ 3. $P(A^c \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = 0.35 - 0.1 = 0.25$ La tabla quedaría así: $$\begin{array}{c|cc|c} & B & B^c & \text{Total} \\ \hline A & 0.1 & 0.35 & 0.45 \\ A^c & 0.25 & 0.30 & 0.55 \\ \hline \text{Total} & 0.35 & 0.65 & 1 \end{array}$$

**(b) [3 puntos] $P(B)$.** Utilizamos la fórmula de la probabilidad de la unión de dos sucesos: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ Despejamos $P(B)$ de la ecuación: $$P(B) = P(A \cup B) - P(A) + P(A \cap B)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(B) = 0.7 - 0.45 + 0.1$$ $$P(B) = 0.35$$ 💡 **Tip:** La probabilidad de la unión siempre resta la intersección para no contar dos veces los elementos comunes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B) = 0.35}$$

**(c) [2 puntos] $P(A^c \cup B^c)$.** Para resolver este apartado aplicamos las **Leyes de De Morgan**, que establecen que la unión de los complementarios es el complementario de la intersección: $$A^c \cup B^c = (A \cap B)^c$$ Por la propiedad del suceso contrario: $$P(A^c \cup B^c) = P((A \cap B)^c) = 1 - P(A \cap B)$$ Sustituimos el valor de la intersección dado ($0.1$): $$P(A^c \cup B^c) = 1 - 0.1 = 0.9$$ 💡 **Tip:** Las leyes de De Morgan son fundamentales: $A^c \cup B^c = (A \cap B)^c$ y $A^c \cap B^c = (A \cup B)^c$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A^c \cup B^c) = 0.9}$$

**(d) [2 puntos] ¿Son $A$ y $B$ sucesos independientes?** Dos sucesos $A$ y $B$ son independientes si y solo si se cumple la condición: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$ Calculamos el producto de las probabilidades individuales: $$P(A) \cdot P(B) = 0.45 \cdot 0.35 = 0.1575$$ Comparamos con la probabilidad de la intersección dada en el enunciado: $$P(A \cap B) = 0.1$$ Como $0.1 \neq 0.1575$, se concluye que: $$P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B)$$ 💡 **Tip:** No confundas sucesos independientes con sucesos incompatibles. Si fueran incompatibles, $P(A \cap B)$ sería $0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Los sucesos } A \text{ e } B \text{ NO son independientes.}}$$