Continuidad de una función a trozos y cálculo de áreas

**(a) [5 puntos] Calcula los valores de $a$ y $b$ para los cuales la función $f(x)$ es continua.** Para que la función sea continua en todo su dominio, debe serlo en los puntos donde cambia de rama, es decir, en $x = 0$ y $x = 1$. Estudiamos primero la continuidad en **$x = 0$**. Para ello, los límites laterales y el valor de la función deben coincidir: 1. $f(0) = b e^0 + a + 1 = b + a + 1$ 2. $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (be^x + a + 1) = b + a + 1$ 3. $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (ax^2 + b(x + 3)) = a(0)^2 + b(0 + 3) = 3b$ Igualamos para que exista el límite y coincida con $f(0)$: $$a + b + 1 = 3b \implies a - 2b = -1 \quad (Ecuación \, 1)$$ 💡 **Tip:** Una función es continua en un punto $c$ si $\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} f(x) = f(c)$.

Estudiamos ahora la continuidad en **$x = 1$**: 1. $f(1) = a(1)^2 + b(1 + 3) = a + 4b$ 2. $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (ax^2 + b(x + 3)) = a + 4b$ 3. $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (a \cos(\pi x) + 7bx) = a \cos(\pi) + 7b(1) = -a + 7b$ Igualamos los límites laterales: $$a + 4b = -a + 7b \implies 2a - 3b = 0 \quad (Ecuación \, 2)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\cos(\pi) = -1$.

Resolvemos el sistema formado por las dos ecuaciones: $$\begin{cases} a - 2b = -1 \\ 2a - 3b = 0 \end{cases}$$ De la segunda ecuación despejamos $a$: $$2a = 3b \implies a = \frac{3b}{2}$$ Sustituimos en la primera: $$\frac{3b}{2} - 2b = -1$$ Multiplicamos por 2 para eliminar denominadores: $$3b - 4b = -2 \implies -b = -2 \implies b = 2$$ Calculamos $a$: $$a = \frac{3(2)}{2} = 3$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 3, \quad b = 2}$$

**(b) [5 puntos] Sean $a = 3$ y $b = 2$, calcula el área comprendida entre $x = -1$, $x = 0$ y el eje $OX$.** Con $a = 3$ y $b = 2$, la rama de la función para el intervalo $[-1, 0]$ es: $$f(x) = 2e^x + 3 + 1 = 2e^x + 4$$ En el intervalo $[-1, 0]$, la función $f(x) = 2e^x + 4$ es siempre positiva, ya que la exponencial es siempre mayor que 0. Por tanto, el área $A$ es la integral definida: $$A = \int_{-1}^{0} (2e^x + 4) \, dx$$ 💡 **Tip:** El área bajo una curva positiva $f(x)$ entre $x=a$ y $x=b$ es simplemente $\int_{a}^{b} f(x) dx$.

Calculamos la primitiva y aplicamos la Regla de Barrow: $$A = \int_{-1}^{0} (2e^x + 4) \, dx = \left[ 2e^x + 4x \right]_{-1}^{0}$$ Calculamos los valores en los límites de integración: - Para $x = 0$: $F(0) = 2e^0 + 4(0) = 2 \cdot 1 + 0 = 2$ - Para $x = -1$: $F(-1) = 2e^{-1} + 4(-1) = \frac{2}{e} - 4$ Restamos los valores: $$A = 2 - \left( \frac{2}{e} - 4 \right) = 2 - \frac{2}{e} + 4 = 6 - \frac{2}{e}$$ Si aproximamos el valor (usando $e \approx 2.718$): $$A \approx 6 - 0.736 = 5.264 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = 6 - \frac{2}{e} \text{ u}^2}$$