Optimización del área de un campo rectangular con costes variables

Sea el campo un rectángulo de dimensiones $x$ e $y$ (en metros). Siguiendo el enunciado y moviéndonos en sentido contrario a las agujas del reloj desde el fondo: - Lado inferior (fondo): longitud $x$, coste $6\ €/m$. - Lado derecho: longitud $y$, coste $9\ €/m$. - Lado superior: longitud $x$, coste $12\ €/m$. - Lado izquierdo: longitud $y$, coste $14\ €/m$. Las variables deben ser positivas, por lo que las restricciones son $x \gt 0$ e $y \gt 0$. El objetivo es maximizar el **Área** del campo: $$A = x \cdot y$$

El coste total debe ser exactamente $1000\ €$. Sumamos el coste de cada lado multiplicando su precio por su longitud: $$6x + 9y + 12x + 14y = 1000$$ Agrupamos términos semejantes: $$(6 + 12)x + (9 + 14)y = 1000$$ $$18x + 23y = 1000$$ Despejamos una de las variables (por ejemplo, $y$) para expresar el área en función de una sola variable: $$23y = 1000 - 18x \implies y = \frac{1000 - 18x}{23}$$ 💡 **Tip:** Al despejar, asegúrate de que el dominio de $x$ sea válido. Como $y \gt 0$, entonces $1000 - 18x \gt 0$, lo que implica $x \lt \frac{1000}{18} \approx 55.56$.

Sustituimos $y$ en la fórmula del área: $$A(x) = x \cdot \left( \frac{1000 - 18x}{23} \right) = \frac{1}{23} (1000x - 18x^2)$$ Para hallar el máximo, calculamos la primera derivada $A'(x)$ e igualamos a cero: $$A'(x) = \frac{1}{23} (1000 - 36x)$$ Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$1000 - 36x = 0 \implies 36x = 1000 \implies x = \frac{1000}{36}$$ Simplificando la fracción entre 4: $$\boxed{x = \frac{250}{9} \approx 27.78\ m}$$ 💡 **Tip:** En problemas de optimización, el máximo suele encontrarse donde la derivada se anula.

Comprobamos que se trata de un máximo utilizando el criterio de la segunda derivada o estudiando el signo de $A'(x)$. Calculamos la segunda derivada: $$A''(x) = \frac{1}{23} (-36) = -\frac{36}{23}$$ Como $A''(x) \lt 0$ para cualquier valor de $x$, la función es cóncava hacia abajo en todo su dominio, lo que confirma que el punto crítico es un **máximo absoluto**. **Tabla de monotonía:** $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 250/9) & 250/9 & (250/9, 500/9) \\ \hline A'(x) & + & 0 & - \\ \hline A(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array}$$ Como la función crece antes de $250/9$ y decrece después, el máximo es único.

Ahora calculamos el valor de $y$ sustituyendo $x = \frac{250}{9}$ en la expresión despejada anteriormente: $$y = \frac{1000 - 18 \cdot \left(\frac{250}{9}\right)}{23}$$ $$y = \frac{1000 - 2 \cdot 250}{23} = \frac{1000 - 500}{23}$$ $$\boxed{y = \frac{500}{23} \approx 21.74\ m}$$ Por tanto, las dimensiones que maximizan el área son una base de $\frac{250}{9}$ metros y una altura de $\frac{500}{23}$ metros. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Dimensiones: } x = \frac{250}{9} \approx 27.78\ m, \; y = \frac{500}{23} \approx 21.74\ m}$$