Posición relativa de planos y perpendicularidad

**(a) [5 puntos] Discute, según los valores de $a$ y $b$ (parámetros reales), la posición relativa de los planos $\pi_1 : 3x + ay - z = 1$ y $\pi_2 : 6x + y - 2z = b$. Es decir, si son coincidentes, paralelos o se cortan. En el último caso, especifica si lo hacen perpendicularmente.** Para estudiar la posición relativa de dos planos, comparamos sus vectores normales: $$\vec{n}_1 = (3, a, -1)$$ $$\vec{n}_2 = (6, 1, -2)$$ Dos planos son paralelos o coincidentes si sus vectores normales son proporcionales, es decir: $$\frac{3}{6} = rac{a}{1} = rac{-1}{-2}$$ De la primera y última fracción obtenemos: $\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$, lo cual es cierto. Por tanto, la proporcionalidad depende únicamente de $a$: $$\frac{1}{2} = \frac{a}{1} \implies a = \frac{1}{2}$$ 💡 **Tip:** Si los coeficientes de las variables son proporcionales, los planos no se cortan (son paralelos o el mismo). Si no lo son, se cortan en una recta.

Analizamos los dos casos principales para el valor de $a$: **Caso 1: Si $a \neq 1/2$** Los vectores normales no son proporcionales. Los planos **se cortan en una recta**. Dentro de este caso, el enunciado pide verificar si se cortan perpendicularmente. Esto ocurre si el producto escalar de sus vectores normales es cero: $$\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0 \implies (3, a, -1) \cdot (6, 1, -2) = 0$$ $$18 + a + 2 = 0 \implies 20 + a = 0 \implies a = -20$$ **Caso 2: Si $a = 1/2$** Los vectores normales son proporcionales. Los planos son paralelos o coincidentes. Para distinguir, comparamos con los términos independientes: $$\frac{3}{6} = \frac{1/2}{1} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{b}$$ $$\frac{1}{2} = \frac{1}{b} \implies b = 2$$

Resumimos los resultados obtenidos: - Si **$a = 1/2$ y $b = 2$**: Los planos son **coincidentes** (son el mismo plano). - Si **$a = 1/2$ y $b \neq 2$**: Los planos son **paralelos** (no tienen puntos en común). - Si **$a \neq 1/2$**: Los planos **se cortan en una recta**. - Si además **$a = -20$**, el corte es **perpendicular**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{cases} a=1/2, b=2 \implies \text{Coincidentes} \\ a=1/2, b \neq 2 \implies \text{Paralelos} \\ a \neq 1/2 \implies \text{Se cortan (si } a=-20 \text{ es perpendicular)} \end{cases}}$$

**(b) [5 puntos] Calcula la ecuación de la recta perpendicular al plano $\pi$ y que pasa por el punto de corte entre la recta $s$ y el propio plano $\pi$, siendo $\pi : \begin{cases} x = 2 + 4\alpha - \beta, \\ y = 3\beta, \\ z = 1 + \alpha, \end{cases}$ y $s : \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z - 1}{-1}$.** Primero, obtenemos el vector normal del plano $\pi$ a partir de sus vectores directores $\vec{u} = (4, 0, 1)$ y $\vec{v} = (-1, 3, 0)$ mediante el producto vectorial: $$\vec{n}_\pi = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 4 & 0 & 1 \\ -1 & 3 & 0 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por Sarrus: $$\vec{n}_\pi = (0 \cdot 0 - 3 \cdot 1)\mathbf{i} - (4 \cdot 0 - (-1) \cdot 1)\mathbf{j} + (4 \cdot 3 - (-1) \cdot 0)\mathbf{k}$$ $$\vec{n}_\pi = -3\mathbf{i} - 1\mathbf{j} + 12\mathbf{k} = (-3, -1, 12)$$ La ecuación general del plano con punto $P(2, 0, 1)$ es: $$-3(x - 2) - 1(y - 0) + 12(z - 1) = 0$$ $$-3x + 6 - y + 12z - 12 = 0 \implies 3x + y - 12z + 6 = 0$$

Expresamos la recta $s$ en paramétricas: $$s : \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = 2\lambda \\ z = 1 - \lambda \end{cases}$$ Sustituimos en la ecuación del plano $\pi$ para hallar el valor de $\lambda$ del punto de corte $M$: $$3(1 + 2\lambda) + (2\lambda) - 12(1 - \lambda) + 6 = 0$$ $$3 + 6\lambda + 2\lambda - 12 + 12\lambda + 6 = 0$$ $$20\lambda - 3 = 0 \implies \lambda = \frac{3}{20}$$ Calculamos las coordenadas de $M$: $$x_M = 1 + 2\left(\frac{3}{20}\right) = 1 + \frac{3}{10} = \frac{13}{10}$$ $$y_M = 2\left(\frac{3}{20}\right) = \frac{3}{10}$$ $$z_M = 1 - \frac{3}{20} = \frac{17}{20}$$ $$M\left(\frac{13}{10}, \frac{3}{10}, \frac{17}{20}\right)$$

La recta buscada $r$ es perpendicular a $\pi$, por lo que su vector director $\vec{d}_r$ es el vector normal del plano $\pi$: $$\vec{d}_r = \vec{n}_\pi = (3, 1, -12)$$ (Usamos el vector con signos cambiados para mayor comodidad, es equivalente). Pasando por $M\left(\frac{13}{10}, \frac{3}{10}, \frac{17}{20}\right)$, la ecuación continua de la recta es: $$\frac{x - 13/10}{3} = \frac{y - 3/10}{1} = \frac{z - 17/20}{-12}$$ O de forma paramétrica: $$r : \begin{cases} x = \frac{13}{10} + 3t \\ y = \frac{3}{10} + t \\ z = \frac{17}{20} - 12t \end{cases}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{r : \frac{x - 1.3}{3} = \frac{y - 0.3}{1} = \frac{z - 0.85}{-12}}$$