Geometría en el espacio: Paralelogramos, perpendicularidad y distancias

**(a) [3 puntos] Calcula el punto $D$ tal que $ABDC$ sea un paralelogramo.** En un paralelogramo $ABDC$, los vértices se nombran en orden consecutivo. Esto implica que el vector que une $A$ con $B$ debe ser igual al vector que une $C$ con $D$ (o bien, que los vectores $\vec{AC}$ y $\vec{BD}$ son iguales). Definimos los vectores con origen en el punto $A(0,0,0)$: $$\vec{AB} = B - A = (2 - 0, -1 - 0, 3 - 0) = (2, -1, 3)$$ $$\vec{AC} = C - A = (-1 - 0, 2 - 0, 1 - 0) = (-1, 2, 1)$$ Sea $D(x, y, z)$ el punto buscado. Para que $ABDC$ sea un paralelogramo, se debe cumplir: $$\vec{AB} = \vec{CD}$$ 💡 **Tip:** Ten cuidado con el orden de las letras. Si el paralelogramo es $ABDC$, los lados paralelos son $AB$ con $CD$ y $AC$ con $BD$.

Calculamos el vector $\vec{CD}$ e igualamos componente a componente con $\vec{AB}$: $$\vec{CD} = (x - (-1), y - 2, z - 1) = (x + 1, y - 2, z - 1)$$ Igualando $\vec{AB} = \vec{CD}$: $$(2, -1, 3) = (x + 1, y - 2, z - 1)$$ Resolvemos el sistema de ecuaciones: 1. $x + 1 = 2 \implies x = 1$ 2. $y - 2 = -1 \implies y = 1$ 3. $z - 1 = 3 \implies z = 4$ Por tanto, el punto $D$ es: $$\boxed{D(1, 1, 4)}$$

**(b) [4 puntos] Calcula uno de los puntos $E$ del espacio de tal manera que la recta $AE$ sea perpendicular al plano $ABC$ y que la distancia entre los puntos $A$ y $E$ sea 1.** Para que la recta $AE$ sea perpendicular al plano $ABC$, el vector $\vec{AE}$ debe ser paralelo al vector normal del plano, $\vec{n}$. El vector normal se obtiene mediante el producto vectorial de dos vectores directores del plano, por ejemplo $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$. $$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & 3 \\ -1 & 2 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{n} = \vec{i}[(-1) \cdot 1 - 2 \cdot 3] - \vec{j}[2 \cdot 1 - (-1) \cdot 3] + \vec{k}[2 \cdot 2 - (-1) \cdot (-1)]$$ $$\vec{n} = \vec{i}(-1 - 6) - \vec{j}(2 + 3) + \vec{k}(4 - 1) = -7\vec{i} - 5\vec{j} + 3\vec{k}$$ $$\vec{n} = (-7, -5, 3)$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial $\vec{u} \times \vec{v}$ siempre genera un vector perpendicular a ambos, y por tanto, perpendicular al plano que los contiene.

Buscamos un punto $E$ tal que $\vec{AE}$ tenga la misma dirección que $\vec{n}$ y su módulo sea 1. Como $A$ es el origen $(0,0,0)$, las coordenadas de $E$ coincidirán con las del vector unitario en la dirección de $\vec{n}$. Primero calculamos el módulo de $\vec{n}$: $$|\vec{n}| = \sqrt{(-7)^2 + (-5)^2 + 3^2} = \sqrt{49 + 25 + 9} = \sqrt{83}$$ Existen dos posibles vectores unitarios (uno en cada sentido): $$\vec{u} = \pm \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \pm \frac{1}{\sqrt{83}} (-7, -5, 3)$$ Elegimos uno de ellos para obtener el punto $E$: $$E = A + \vec{u} = (0,0,0) + \left( \frac{-7}{\sqrt{83}}, \frac{-5}{\sqrt{83}}, \frac{3}{\sqrt{83}} \right)$$ ✅ **Resultado (un posible punto E):** $$\boxed{E\left( \frac{-7}{\sqrt{83}}, \frac{-5}{\sqrt{83}}, \frac{3}{\sqrt{83}} \right)}$$

**(c) [3 puntos] Escribe la ecuación de uno de los planos paralelos al plano $ABC$ que dista una unidad de este.** Utilizamos el vector normal $\vec{n} = (-7, -5, 3)$ hallado anteriormente. La ecuación general del plano $ABC$ tiene la forma: $$-7x - 5y + 3z + D = 0$$ Como el plano pasa por $A(0,0,0)$, sustituimos para hallar $D$: $$-7(0) - 5(0) + 3(0) + D = 0 \implies D = 0$$ La ecuación del plano $\pi_{ABC}$ es: $7x + 5y - 3z = 0$ (multiplicando por $-1$ para simplificar). Cualquier plano paralelo tendrá la forma: $$\pi_k: 7x + 5y - 3z + k = 0$$

La distancia entre dos planos paralelos $\pi_1: Ax+By+Cz+D_1=0$ y $\pi_2: Ax+By+Cz+D_2=0$ viene dada por: $$d(\pi_1, \pi_2) = \frac{|D_2 - D_1|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ En nuestro caso, queremos que la distancia sea 1 respecto al plano $ABC$ (donde $D_1 = 0$): $$1 = \frac{|k - 0|}{\sqrt{7^2 + 5^2 + (-3)^2}} = \frac{|k|}{\sqrt{83}}$$ Despejamos $k$: $$|k| = \sqrt{83} \implies k = \pm \sqrt{83}$$ Elegimos uno de los dos valores (por ejemplo, el positivo) para dar la ecuación de un plano. ✅ **Resultado (un plano paralelo):** $$\boxed{7x + 5y - 3z + \sqrt{83} = 0}$$