Matrices y ecuaciones matriciales

**(a) [3 puntos] Calcula la expresión de la matriz inversa de $A$.** Partimos de la condición dada en el enunciado: $$3A + I = A^2$$ Para hallar la inversa $A^{-1}$, debemos manipular la ecuación para que aparezca una expresión del tipo $A \cdot B = I$, donde $B$ será la inversa. 1. Agrupamos los términos con $A$ en un miembro: $$I = A^2 - 3A$$ 2. Factorizamos la matriz $A$ por la izquierda (o por la derecha, ya que las potencias de una matriz y la identidad conmutan): $$I = A(A - 3I)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que al factorizar $A$ de un término escalar como $3A$, el número queda multiplicado por la matriz identidad $I$ ($3A = 3AI$). Como el producto de $A$ por la matriz $(A - 3I)$ da la identidad, por definición de matriz inversa: $$\boxed{A^{-1} = A - 3I}$$

**(b) [3 puntos] Dada la ecuación matricial $A + 3AX = 5I$, calcula, en función sólo de la matriz $A$ e $I$, la matriz $X$.** Primero, despejamos el término que contiene $X$: $$3AX = 5I - A$$ Para despejar $X$, multiplicamos por la izquierda por la matriz inversa $A^{-1}$ en ambos miembros de la ecuación: $$A^{-1}(3AX) = A^{-1}(5I - A)$$ $$3(A^{-1}A)X = A^{-1}(5I - A)$$ $$3IX = A^{-1}(5I - A) \implies 3X = A^{-1}(5I - A)$$ $$X = \frac{1}{3} A^{-1}(5I - A)$$ Ahora, sustituimos la expresión de $A^{-1}$ hallada en el apartado anterior ($A^{-1} = A - 3I$): $$X = \frac{1}{3}(A - 3I)(5I - A)$$ Expandimos el producto: $$X = \frac{1}{3}(5AI - A^2 - 15I^2 + 3IA)$$ $$X = \frac{1}{3}(5A - A^2 - 15I + 3A)$$ $$X = \frac{1}{3}(8A - A^2 - 15I)$$ Como el enunciado pide la expresión solo en función de $A$ e $I$, sustituimos de nuevo la condición original $A^2 = 3A + I$: $$X = \frac{1}{3}(8A - (3A + I) - 15I)$$ $$X = \frac{1}{3}(8A - 3A - I - 15I) = \frac{1}{3}(5A - 16I)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \frac{5}{3}A - \frac{16}{3}I}$$

**¿Qué dimensión tiene la matriz $X$? Justifica la respuesta.** Analizamos las dimensiones en la ecuación $A + 3AX = 5I$: - $A$ es una matriz de dimensión $3 \times 3$. - $I$ es la matriz identidad de dimensión $3 \times 3$. Para que la operación de suma $A + (3AX)$ sea posible, el producto $3AX$ debe dar como resultado una matriz de la misma dimensión que $A$, es decir, $3 \times 3$. En el producto $A \cdot X$: $$(\text{dim } A) \times (\text{dim } X) = (3 \times 3) \times (m \times n) = (3 \times n)$$ Para que el resultado sea $3 \times 3$, es necesario que $m=3$ (el número de filas de $X$ coincide con el de columnas de $A$) y $n=3$. 💡 **Tip:** En una ecuación matricial $A+B=C$, todas las matrices involucradas deben tener la misma dimensión. ✅ **Justificación:** $$\boxed{\text{X tiene dimensión } 3 \times 3}$$

**(c) [4 puntos] Calcula todas las matrices de la forma $A = \begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\ 1 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{pmatrix}$ que satisfacen las condiciones.** Debemos imponer la condición $A^2 = 3A + I$. Primero calculamos $A^2$: $$A^2 = \begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\ 1 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\ 1 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2+1 & a+b & 0 \\ a+b & 1+b^2 & 0 \\ 0 & 0 & c^2 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos $3A + I$: $$3A + I = 3\begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\ 1 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3a+1 & 3 & 0 \\ 3 & 3b+1 & 0 \\ 0 & 0 & 3c+1 \end{pmatrix}$$ Igualamos ambas matrices elemento a elemento para obtener un sistema de ecuaciones.

Al igualar las matrices obtenemos: 1. $a^2 + 1 = 3a + 1 \implies a^2 - 3a = 0 \implies a(a - 3) = 0 \implies a = 0$ ó $a = 3$. 2. $a + b = 3$. 3. $1 + b^2 = 3b + 1 \implies b^2 - 3b = 0 \implies b(b - 3) = 0 \implies b = 0$ ó $b = 3$. Combinando las ecuaciones (1) y (2): - Si **$a = 0$**, entonces $0 + b = 3 \implies \mathbf{b = 3}$. (Verificamos en (3): $3^2 - 3(3) = 0$, correcto). - Si **$a = 3$**, entonces $3 + b = 3 \implies \mathbf{b = 0}$. (Verificamos en (3): $0^2 - 3(0) = 0$, correcto). Por tanto, las combinaciones posibles para $(a, b)$ son $(0, 3)$ y $(3, 0)$.

Para el parámetro $c$, igualamos el elemento $(3,3)$: $$c^2 = 3c + 1 \implies c^2 - 3c - 1 = 0$$ Es una ecuación de segundo grado. Aplicamos la fórmula general: $$c = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$$ Existen dos posibles valores para $c$: $c_1 = \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$ y $c_2 = \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$. Combinando los resultados de $a, b$ y $c$, las matrices posibles son: ✅ **Resultado final:** Para cada par $(a,b)$, hay dos valores de $c$, resultando en 4 matrices: $$\boxed{A_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{3+\sqrt{13}}{2} \end{pmatrix}, \quad A_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{3-\sqrt{13}}{2} \end{pmatrix}}$$ $$\boxed{A_3 = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{3+\sqrt{13}}{2} \end{pmatrix}, \quad A_4 = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{3-\sqrt{13}}{2} \end{pmatrix}}$$