Sistema de ecuaciones lineales: precios de vino

**(a) [3 puntos] Escribe, en forma matricial, el sistema de ecuaciones lineales que se tendría que resolver para poder descubrir el precio de cada tipo de vino.** En primer lugar, definimos las variables que representan las incógnitas del problema: - $x$: precio de una botella de vino tinto (en €). - $y$: precio de una botella de vino blanco (en €). - $z$: precio de una botella de vino rosado (en €). A partir del enunciado, traducimos cada compra a una ecuación lineal: 1. $3x + 2y = 67$ 2. $2x + 4y + z = 85$ 3. $x + z = 21$ 4. $4y + 5z = 85$ Para escribirlo en **forma matricial** $A \cdot X = B$, agrupamos los coeficientes en la matriz $A$, las incógnitas en el vector columna $X$ y los términos independientes en el vector $B$: $$\begin{pmatrix} 3 & 2 & 0 \\ 2 & 4 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 4 & 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 67 \\ 85 \\ 21 \\ 85 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en la forma matricial $A \cdot X = B$, la matriz $A$ tiene tantas filas como ecuaciones y tantas columnas como incógnitas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{pmatrix} 3 & 2 & 0 \\ 2 & 4 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 4 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 67 \\ 85 \\ 21 \\ 85 \end{pmatrix}}$$

**(b) [2 puntos] ¿Es necesario tener los datos de las 4 compras para saber el precio de cada tipo de vino? Justifica la respuesta.** Para determinar si necesitamos las 4 compras, debemos estudiar el rango de la matriz de coeficientes $A$ y de la matriz ampliada $A^*$. Tenemos 3 incógnitas, por lo que si encontramos 3 ecuaciones linealmente independientes, el sistema tendrá solución única. Analizamos el rango de la submatriz formada por las 3 primeras filas: $$M = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 0 \\ 2 & 4 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Calculamos su determinante por la regla de Sarrus: $$|M| = (3 \cdot 4 \cdot 1) + (2 \cdot 1 \cdot 1) + (0 \cdot 2 \cdot 0) - (0 \cdot 4 \cdot 1) - (1 \cdot 1 \cdot 3) - (2 \cdot 2 \cdot 1)$$ $$|M| = 12 + 2 + 0 - 0 - 3 - 4 = 14 - 7 = 7$$ Como $|M| \neq 0$, el **rango de $A$ es 3**. Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, al ser el rango igual al número de incógnitas, basta con las 3 primeras ecuaciones para obtener una solución única (Sistema Compatible Determinado). Por tanto, **no es necesario** tener los datos de las 4 compras; con las 3 primeras (o cualquier combinación de 3 que sean independientes) es suficiente. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No es necesario, ya que el rango de la matriz de las 3 primeras ecuaciones es 3.}}$$

**(c) [5 puntos] Calcula cuál es el precio de cada tipo de vino.** Utilizaremos las tres primeras ecuaciones, que sabemos que forman un sistema con solución única: 1) $3x + 2y = 67$ 2) $2x + 4y + z = 85$ 3) $x + z = 21$ De la ecuación (3), despejamos $z$: $$z = 21 - x$$ Sustituimos $z$ en la ecuación (2): $$2x + 4y + (21 - x) = 85 \implies x + 4y = 64$$ Ahora tenemos un sistema de dos ecuaciones con $x$ e $y$: $$\begin{cases} 3x + 2y = 67 \\ x + 4y = 64 \end{cases}$$ Multiplicamos la primera por $-2$ para aplicar reducción: $$-6x - 4y = -134$$ $$x + 4y = 64$$ Sumamos ambas ecuaciones: $$-5x = -70 \implies x = \frac{-70}{-5} = 14$$ Sustituimos $x = 14$ para hallar $y$: $$14 + 4y = 64 \implies 4y = 50 \implies y = \frac{50}{4} = 12.5$$ Sustituimos $x = 14$ para hallar $z$: $$z = 21 - 14 = 7$$ Finalmente, comprobamos en la 4ª ecuación ($4y + 5z = 85$): $$4(12.5) + 5(7) = 50 + 35 = 85$$ Los valores son correctos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Tinto: } 14\ €, \text{ Blanco: } 12.5\ €, \text{ Rosado: } 7\ €}$$