Distribución normal: Peso de latas de judías

**(a) [6 puntos] El valor de la media $\mu$ redondeándola a las unidades.** Definimos la variable aleatoria $X$ como el peso en gramos de las judías en conserva. Según el enunciado, $X$ sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu, 7.8)$$ Se nos indica que el 10% de las latas contienen menos de $200\text{ g}$, lo que se traduce matemáticamente como: $$P(X \lt 200) = 0.10$$ Para trabajar con las tablas de la normal estándar, debemos tipificar la variable utilizando la fórmula $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$: $$P\left(Z \lt \frac{200 - \mu}{7.8}\right) = 0.10$$ 💡 **Tip:** Tipificar consiste en transformar nuestra variable $X$ en una $Z \sim N(0, 1)$ restando la media y dividiendo por la desviación típica.

Buscamos en la tabla de la normal estándar el valor $z_0$ tal que $P(Z \lt z_0) = 0.10$. Como $0.10$ es menor que $0.5$, sabemos que $z_0$ es un valor negativo. Por simetría de la campana de Gauss: $$P(Z \lt z_0) = 0.10 \implies P(Z \gt -z_0) = 0.10 \implies P(Z \lt -z_0) = 0.90$$ Buscando en la tabla el valor más próximo a $0.90$, encontramos que para $z = 1.28$, la probabilidad es $0.8997$. Por tanto, $-z_0 = 1.28$, lo que implica que $z_0 = -1.28$. Igualamos el valor tipificado a este valor crítico: $$\frac{200 - \mu}{7.8} = -1.28$$ Despejamos $\mu$: $$200 - \mu = -1.28 \cdot 7.8$$ $$200 - \mu = -9.984$$ $$\mu = 200 + 9.984 = 209.984$$ Redondeando a las unidades, obtenemos: $$\mu = 210$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\mu = 210\text{ g}}$$

**(b) [2 puntos] El porcentaje de latas que contienen más de $225\text{ g}$ de judías. Nota: emplea la media redondeada a las unidades.** Ahora nuestra distribución es $X \sim N(210, 7.8)$. Debemos calcular $P(X \gt 225)$. Tipificamos de nuevo: $$P(X \gt 225) = P\left(Z \gt \frac{225 - 210}{7.8}\right) = P\left(Z \gt \frac{15}{7.8}\right) = P(Z \gt 1.92)$$ Como las tablas solo ofrecen $P(Z \lt z)$, usamos el suceso complementario: $$P(Z \gt 1.92) = 1 - P(Z \le 1.92)$$ Buscamos en la tabla $z = 1.92$: $$1 - 0.9726 = 0.0274$$ Para expresarlo en porcentaje, multiplicamos por 100: $$0.0274 \cdot 100 = 2.74\%$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(Z > a) = 1 - P(Z \le a)$ debido a que el área total bajo la curva normal es 1. ✅ **Resultado:** $$\boxed{2.74\%}$$

**(c) [2 puntos] El porcentaje de latas que contienen entre $190\text{ g}$ y $225\text{ g}$ de judías. Nota: emplea la media redondeada a las unidades.** Debemos calcular $P(190 \lt X \lt 225)$. Tipificamos ambos límites: $$P\left(\frac{190 - 210}{7.8} \lt Z \lt \frac{225 - 210}{7.8}\right) = P(-2.56 \lt Z \lt 1.92)$$ Calculamos la probabilidad del intervalo: $$P(-2.56 \lt Z \lt 1.92) = P(Z \lt 1.92) - P(Z \lt -2.56)$$ Por simetría, $P(Z \lt -2.56) = P(Z \gt 2.56) = 1 - P(Z \lt 2.56)$. Sustituimos los valores de la tabla: - $P(Z \lt 1.92) = 0.9726$ - $P(Z \lt 2.56) = 0.9948$ $$0.9726 - (1 - 0.9948) = 0.9726 - 0.0052 = 0.9674$$ Convertimos a porcentaje: $$0.9674 \cdot 100 = 96.74\%$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{96.74\%}$$