Probabilidad de preferencias deportivas

**(a) [3 puntos] Que las dos personas sean aficionadas a la natación.** En primer lugar, definimos los sucesos según el deporte preferido: - $N$: La persona prefiere la natación. $P(N) = 0.38$. - $C$: La persona prefiere el ciclismo. $P(C) = 0.21$. - $O$: La persona prefiere otros deportes. $P(O) = 1 - (0.38 + 0.21) = 0.41$. Al elegir dos personas de un pueblo y no conocer el número total de habitantes, asumimos que el tamaño de la población es lo suficientemente grande como para que la extracción de una persona no varíe significativamente las probabilidades de la segunda. Por tanto, tratamos las extracciones como **sucesos independientes**. Representamos la situación mediante un árbol de probabilidad para las dos extracciones:

Para que las dos personas prefieran la natación, debe ocurrir el suceso $N_1 \cap N_2$. Al ser sucesos independientes: $$P(N_1 \cap N_2) = P(N_1) \cdot P(N_2)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(N_1 \cap N_2) = 0.38 \cdot 0.38 = 0.1444$$ 💡 **Tip:** Cuando se extraen elementos de una población muy grande, aunque sea "sin reemplazo" (personas diferentes), se pueden tratar como independientes ya que la probabilidad apenas varía. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{ambas natación}) = 0.1444}$$

**(b) [3 puntos] Que una de las dos personas sea aficionada al ciclismo y la otra a la natación.** Este suceso puede ocurrir de dos formas distintas: que la primera sea de ciclismo y la segunda de natación, o que la primera sea de natación y la segunda de ciclismo. $$P((C_1 \cap N_2) \cup (N_1 \cap C_2)) = P(C_1) \cdot P(N_2) + P(N_1) \cdot P(C_2)$$ Calculamos los valores: $$P = (0.21 \cdot 0.38) + (0.38 \cdot 0.21)$$ $$P = 0.0798 + 0.0798 = 0.1596$$ 💡 **Tip:** En probabilidad, el término "una de las dos" sin especificar el orden implica sumar todas las permutaciones posibles de esos elementos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{uno ciclismo, otro natación}) = 0.1596}$$

**(c) [4 puntos] Sabiendo que la primera prefiere el ciclismo, que la segunda no prefiera este deporte.** Nos piden una probabilidad condicionada. Queremos hallar la probabilidad de que la segunda persona no prefiera el ciclismo (suceso $\bar{C}_2$) dado que la primera sí lo prefiere ($C_1$). La fórmula de la probabilidad condicionada es: $$P(\bar{C}_2 | C_1) = \frac{P(\bar{C}_2 \cap C_1)}{P(C_1)}$$ Sin embargo, al ser sucesos **independientes**, el hecho de que la primera persona prefiera el ciclismo no afecta a la preferencia de la segunda. Por tanto: $$P(\bar{C}_2 | C_1) = P(\bar{C}_2)$$ Calculamos la probabilidad del suceso contrario (no preferir ciclismo): $$P(\bar{C}_2) = 1 - P(C) = 1 - 0.21 = 0.79$$ O de forma directa sumando natación y otros: $$P(\bar{C}_2) = P(N) + P(O) = 0.38 + 0.41 = 0.79$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{C}_2 | C_1) = 0.79}$$