Área de la superficie entre dos curvas parabólicas

**P6. — [10 puntos] Calcula el área de la superficie comprendida entre las curvas $f(x) = 6x - x^2$, $g(x) = x^2 - 2x$ y sus puntos de corte.** Para hallar los puntos de corte entre las dos funciones, igualamos sus expresiones $f(x) = g(x)$: $$6x - x^2 = x^2 - 2x$$ Agrupamos todos los términos en un miembro de la ecuación para obtener una ecuación de segundo grado: $$0 = x^2 + x^2 - 2x - 6x$$ $$2x^2 - 8x = 0$$ Resolvemos factorizando por factor común: $$2x(x - 4) = 0$$ Las soluciones son: - $2x = 0 \implies x_1 = 0$ - $x - 4 = 0 \implies x_2 = 4$ 💡 **Tip:** Los puntos de corte nos indican los límites de integración de la integral definida que calculará el área. $$\boxed{x = 0, \quad x = 4}$$

Para calcular el área correctamente, debemos saber qué función está por encima de la otra en el intervalo $(0, 4)$. Tomamos un valor intermedio, por ejemplo $x = 1$, y evaluamos ambas funciones: $$f(1) = 6(1) - (1)^2 = 6 - 1 = 5$$ $$g(1) = (1)^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1$$ Como $f(1) \gt g(1)$, la función $f(x)$ queda por encima de $g(x)$ en el intervalo estudiado. La función diferencia para integrar será: $$h(x) = f(x) - g(x) = (6x - x^2) - (x^2 - 2x)$$ $$h(x) = -2x^2 + 8x$$ 💡 **Tip:** El área siempre es positiva. Al restar la función superior menos la inferior, nos aseguramos de que el resultado de la integral sea positivo.

El área $A$ viene dada por la integral definida de la función diferencia entre los puntos de corte: $$A = \int_{0}^{4} (f(x) - g(x)) \, dx = \int_{0}^{4} (-2x^2 + 8x) \, dx$$ Calculamos la primitiva de la función: $$\int (-2x^2 + 8x) \, dx = -\frac{2x^3}{3} + \frac{8x^2}{2} = -\frac{2x^3}{3} + 4x^2$$ Aplicamos la **Regla de Barrow**: $$A = \left[ -\frac{2x^3}{3} + 4x^2 \right]_{0}^{4}$$ Sustituimos los límites de integración: $$A = \left( -\frac{2(4)^3}{3} + 4(4)^2 \right) - \left( -\frac{2(0)^3}{3} + 4(0)^2 \right)$$ $$A = \left( -\frac{2(64)}{3} + 4(16) \right) - 0$$ $$A = -\frac{128}{3} + 64$$ Realizamos la operación final: $$A = \frac{-128 + 192}{3} = \frac{64}{3} \approx 21,33 \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que al aplicar Barrow siempre es (valor en el límite superior) menos (valor en el límite inferior). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{64}{3} \text{ u}^2}$$