Cálculo de parámetros y estudio de continuidad

**(a) [5 puntos] Dada la función $f(x) = ax + b\sqrt{x}$, determina los valores de $a$ y $b$ sabiendo que $f(x)$ alcanza su máximo en $x = 100$ y que pasa por el punto $(49, 91)$.** Primero, utilizamos el dato de que la función pasa por el punto $(49, 91)$. Esto significa que $f(49) = 91$. Sustituimos en la expresión de la función: $$f(49) = a(49) + b\sqrt{49} = 91$$ $$49a + 7b = 91$$ Podemos simplificar esta ecuación dividiendo todos sus términos por 7: $$7a + b = 13 \implies (1)$$ 💡 **Tip:** Simplificar las ecuaciones siempre que sea posible facilita enormemente la resolución de los sistemas posteriores.

La función tiene un máximo en $x = 100$. En los puntos de máximo o mínimo relativo de una función derivable, la primera derivada es igual a cero: $f'(100) = 0$. Calculamos la derivada de $f(x) = ax + b\sqrt{x}$: $$f'(x) = a + b \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = a + \frac{b}{2\sqrt{x}}$$ Imponemos la condición en $x = 100$: $$f'(100) = a + \frac{b}{2\sqrt{100}} = a + \frac{b}{2\cdot 10} = a + \frac{b}{20} = 0$$ De aquí obtenemos la segunda ecuación: $$a + \frac{b}{20} = 0 \implies b = -20a \implies (2)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si un punto es un extremo (máximo o mínimo) y la función es derivable en él, entonces su derivada necesariamente debe anularse.

Sustituimos la ecuación $(2)$ en la ecuación $(1)$: $$7a + (-20a) = 13$$ $$-13a = 13 \implies a = -1$$ Ahora calculamos $b$ usando la relación $b = -20a$: $$b = -20(-1) = 20$$ Para confirmar que es un máximo, podemos comprobar el signo de la segunda derivada $f''(x)$: $$f''(x) = -\frac{b}{4x\sqrt{x}} \implies f''(100) = -\frac{20}{4000} \lt 0$$ Como $f''(100) < 0$, efectivamente se trata de un máximo. ✅ **Resultado del apartado (a):** $$\boxed{a = -1, \quad b = 20}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x) = -x + 20\\sqrt{x}", "color": "#2563eb" }, { "id": "p1", "latex": "(49, 91)", "showLabel": true, "color": "#ef4444" }, { "id": "p2", "latex": "(100, 100)", "showLabel": true, "label": "Máximo", "color": "#16a34a" } ], "bounds": { "left": -10, "right": 150, "bottom": -10, "top": 120 } } }

**(b) [5 puntos] Dada la función $g(x) = \frac{(x - 1)\sqrt{x}}{x^2 - 1}$, indica cuál es su dominio. ¿Es $g(x)$ una función continua en su dominio? Justifica la respuesta y, en caso negativo, indica qué tipo de discontinuidad presenta.** Para hallar el dominio de $g(x)$, debemos considerar dos restricciones: 1. La raíz cuadrada: El radicando debe ser no negativo, por lo que $\sqrt{x}$ requiere que $x \ge 0$. 2. El denominador: No puede ser cero. Resolvemos $x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = 1$ o $x = -1$. Cruzando ambas restricciones: - Por la raíz: $x \in [0, +\infty)$. - Por el denominador: $x \neq 1$ y $x \neq -1$. Como $x = -1$ ya queda fuera por la restricción de la raíz, el dominio es: $$\text{Dom}(g) = [0, 1) \cup (1, +\infty)$$ 💡 **Tip:** El dominio de una función racional con raíces es la intersección de los dominios de cada una de sus partes.

La función $g(x)$ es **continua en todo su dominio**, ya que es un cociente de funciones continuas (un polinomio por una raíz entre otro polinomio) y el denominador no se anula para ningún punto perteneciente al dominio. Sin embargo, debemos analizar qué ocurre en el punto $x = 1$, que está en el "borde" de los intervalos del dominio. Calculamos el límite: $$\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)\sqrt{x}}{x^2-1} = \left[ \frac{0}{0} \right]$$ Para resolver la indeterminación, factorizamos el denominador: $$\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)\sqrt{x}}{(x-1)(x+1)} = \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x}}{x+1} = \frac{\sqrt{1}}{1+1} = \frac{1}{2}$$ Como el límite existe y es un número real finito, pero el punto $x=1$ no pertenece al dominio (la función no está definida allí), la función presenta una **discontinuidad evitable** en $x = 1$. 💡 **Tip:** Una discontinuidad es evitable cuando existe el límite finito en el punto pero este no coincide con el valor de la función (o la función no existe). ✅ **Resultado del apartado (b):** $$\boxed{\text{Dom}(g) = [0, 1) \cup (1, +\infty). \text{ Continua en su dominio. Discontinuidad evitable en } x = 1.}$$